Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50262 / 49390
↖ ↑ ↗
← S 67.028875°
E 96.097412°		 ← 238.40 m → S 67.028875°
E 96.102905°		 →
↑
238.40 m
↓
↑
238.40 m
↓
S 67.031019°
E 96.097412°		 ← 238.37 m →
56 832 m²		 S 67.031019°
E 96.102905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766944885253906 y=0.753639221191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766944885253906 × 216)
    floor (0.766944885253906 × 65536)
    floor (50262.5)     		tx = 50262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753639221191406 × 216)
    floor (0.753639221191406 × 65536)
    floor (49390.5)     		ty = 49390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50262 / 49390 ti = "16/50262/49390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50262/49390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50262 ÷ 216
    50262 ÷ 65536     		x = 0.766937255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49390 ÷ 216
    49390 ÷ 65536     		y = 0.753631591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766937255859375 × 2 - 1) × π
    0.53387451171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67721624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753631591796875 × 2 - 1) × π
    -0.50726318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59361429096915
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67721624} λ = 1.67721624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59361429096915))-π/2
    2×atan(0.203189895584357)-π/2
    2×0.200460877143147-π/2
    0.400921754286295-1.57079632675     		φ = -1.16987457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67721624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.097412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16987457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.028875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50262 KachelY 49390 1.67721624 -1.16987457 96.097412 -67.028875
    Oben rechts KachelX + 1 50263 KachelY 49390 1.67731212 -1.16987457 96.102905 -67.028875
    Unten links KachelX 50262 KachelY + 1 49391 1.67721624 -1.16991199 96.097412 -67.031019
    Unten rechts KachelX + 1 50263 KachelY + 1 49391 1.67731212 -1.16991199 96.102905 -67.031019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16987457--1.16991199) × R
    3.74199999999547e-05 × 6371000     		dl = 238.402819999711m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16987457--1.16991199) × R
    3.74199999999547e-05 × 6371000     		dr = 238.402819999711m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67721624-1.67731212) × cos(-1.16987457) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.390267170986335 × 6371000     		do = 238.395278992811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67721624-1.67731212) × cos(-1.16991199) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.390232718057222 × 6371000     		du = 238.374233370072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16987457)-sin(-1.16991199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390267170986335-0.390232718057222)×R²
    abs(1.67731212-1.67721624)×3.44529291129714e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.44529291129714e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.44529291129714e-05×40589641000000     		ar = 56831.5981251639m²