Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50262 / 49372
↖ ↑ ↗
← S 66.990256°
E 96.097412°		 ← 238.77 m → S 66.990256°
E 96.102905°		 →
↑
238.79 m
↓
↑
238.79 m
↓
S 66.992404°
E 96.097412°		 ← 238.75 m →
57 013 m²		 S 66.992404°
E 96.102905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49372 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766944885253906 y=0.753364562988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766944885253906 × 216)
    floor (0.766944885253906 × 65536)
    floor (50262.5)     		tx = 50262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753364562988281 × 216)
    floor (0.753364562988281 × 65536)
    floor (49372.5)     		ty = 49372
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50262 / 49372 ti = "16/50262/49372"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50262/49372.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50262 ÷ 216
    50262 ÷ 65536     		x = 0.766937255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49372 ÷ 216
    49372 ÷ 65536     		y = 0.75335693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766937255859375 × 2 - 1) × π
    0.53387451171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67721624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75335693359375 × 2 - 1) × π
    -0.5067138671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59188856258282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67721624} λ = 1.67721624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59188856258282))-π/2
    2×atan(0.203540848892925)-π/2
    2×0.200797892350903-π/2
    0.401595784701806-1.57079632675     		φ = -1.16920054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67721624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.097412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16920054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.990256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50262 KachelY 49372 1.67721624 -1.16920054 96.097412 -66.990256
    Oben rechts KachelX + 1 50263 KachelY 49372 1.67731212 -1.16920054 96.102905 -66.990256
    Unten links KachelX 50262 KachelY + 1 49373 1.67721624 -1.16923802 96.097412 -66.992404
    Unten rechts KachelX + 1 50263 KachelY + 1 49373 1.67731212 -1.16923802 96.102905 -66.992404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16920054--1.16923802) × R
    3.74800000000342e-05 × 6371000     		dl = 238.785080000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16920054--1.16923802) × R
    3.74800000000342e-05 × 6371000     		dr = 238.785080000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67721624-1.67731212) × cos(-1.16920054) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.390887662822641 × 6371000     		do = 238.774307349348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67721624-1.67731212) × cos(-1.16923802) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.390853164517135 × 6371000     		du = 238.753234008372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16920054)-sin(-1.16923802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390887662822641-0.390853164517135)×R²
    abs(1.67731212-1.67721624)×3.44983055061698e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.44983055061698e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.44983055061698e-05×40589641000000     		ar = 57013.226089322m²