Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50261 / 49328
↖ ↑ ↗
← S 66.895596°
E 96.091919°		 ← 239.68 m → S 66.895596°
E 96.097412°		 →
↑
239.68 m
↓
↑
239.68 m
↓
S 66.897751°
E 96.091919°		 ← 239.66 m →
57 443 m²		 S 66.897751°
E 96.097412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50261 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766929626464844 y=0.752693176269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766929626464844 × 216)
    floor (0.766929626464844 × 65536)
    floor (50261.5)     		tx = 50261
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752693176269531 × 216)
    floor (0.752693176269531 × 65536)
    floor (49328.5)     		ty = 49328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50261 / 49328 ti = "16/50261/49328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50261/49328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50261 ÷ 216
    50261 ÷ 65536     		x = 0.766921997070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49328 ÷ 216
    49328 ÷ 65536     		y = 0.752685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766921997070312 × 2 - 1) × π
    0.533843994140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67712037
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752685546875 × 2 - 1) × π
    -0.50537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58767011541626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67712037} λ = 1.67712037}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58767011541626))-π/2
    2×atan(0.204401288794369)-π/2
    2×0.201623964155491-π/2
    0.403247928310981-1.57079632675     		φ = -1.16754840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67712037} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.091919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16754840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.895596°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50261 KachelY 49328 1.67712037 -1.16754840 96.091919 -66.895596
    Oben rechts KachelX + 1 50262 KachelY 49328 1.67721624 -1.16754840 96.097412 -66.895596
    Unten links KachelX 50261 KachelY + 1 49329 1.67712037 -1.16758602 96.091919 -66.897751
    Unten rechts KachelX + 1 50262 KachelY + 1 49329 1.67721624 -1.16758602 96.097412 -66.897751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16754840--1.16758602) × R
    3.76199999998494e-05 × 6371000     		dl = 239.677019999041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16754840--1.16758602) × R
    3.76199999998494e-05 × 6371000     		dr = 239.677019999041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67712037-1.67721624) × cos(-1.16754840) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.392407821740388 × 6371000     		do = 239.677898371364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67712037-1.67721624) × cos(-1.16758602) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.392373218912663 × 6371000     		du = 239.656763387382m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16754840)-sin(-1.16758602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392407821740388-0.392373218912663)×R²
    abs(1.67721624-1.67712037)×3.46028277253829e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.46028277253829e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.46028277253829e-05×40589641000000     		ar = 57442.751663115m²