Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50259 / 50780
↖ ↑ ↗
← S 69.832048°
E 96.080932°		 ← 210.61 m → S 69.832048°
E 96.086426°		 →
↑
210.56 m
↓
↑
210.56 m
↓
S 69.833942°
E 96.080932°		 ← 210.59 m →
44 343 m²		 S 69.833942°
E 96.086426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766899108886719 y=0.774848937988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766899108886719 × 216)
    floor (0.766899108886719 × 65536)
    floor (50259.5)     		tx = 50259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774848937988281 × 216)
    floor (0.774848937988281 × 65536)
    floor (50780.5)     		ty = 50780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50259 / 50780 ti = "16/50259/50780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50259/50780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50259 ÷ 216
    50259 ÷ 65536     		x = 0.766891479492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50780 ÷ 216
    50780 ÷ 65536     		y = 0.77484130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766891479492188 × 2 - 1) × π
    0.533782958984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67692862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77484130859375 × 2 - 1) × π
    -0.5496826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7268788719129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67692862} λ = 1.67692862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7268788719129))-π/2
    2×atan(0.177838601723077)-π/2
    2×0.175998585336715-π/2
    0.351997170673429-1.57079632675     		φ = -1.21879916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67692862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.080932°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21879916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.832048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50259 KachelY 50780 1.67692862 -1.21879916 96.080932 -69.832048
    Oben rechts KachelX + 1 50260 KachelY 50780 1.67702450 -1.21879916 96.086426 -69.832048
    Unten links KachelX 50259 KachelY + 1 50781 1.67692862 -1.21883221 96.080932 -69.833942
    Unten rechts KachelX + 1 50260 KachelY + 1 50781 1.67702450 -1.21883221 96.086426 -69.833942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21879916--1.21883221) × R
    3.30499999998679e-05 × 6371000     		dl = 210.561549999158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21879916--1.21883221) × R
    3.30499999998679e-05 × 6371000     		dr = 210.561549999158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67692862-1.67702450) × cos(-1.21879916) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.344773206344636 × 6371000     		do = 210.605223359828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67692862-1.67702450) × cos(-1.21883221) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.344742182583523 × 6371000     		du = 210.586272449437m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21879916)-sin(-1.21883221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344773206344636-0.344742182583523)×R²
    abs(1.67702450-1.67692862)×3.10237611134689e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.10237611134689e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.10237611134689e-05×40589641000000     		ar = 44343.3671062469m²