Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50258 / 58066
↖ ↑ ↗
← N 20.092047°
W 41.962280°		 ← 286.78 m → N 20.092047°
W 41.959534°		 →
↑
286.82 m
↓
↑
286.82 m
↓
N 20.089468°
W 41.962280°		 ← 286.78 m →
82 255 m²		 N 20.089468°
W 41.959534°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383441925048828 y=0.443012237548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383441925048828 × 217)
    floor (0.383441925048828 × 131072)
    floor (50258.5)     		tx = 50258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443012237548828 × 217)
    floor (0.443012237548828 × 131072)
    floor (58066.5)     		ty = 58066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50258 / 58066 ti = "17/50258/58066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50258/58066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50258 ÷ 217
    50258 ÷ 131072     		x = 0.383438110351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58066 ÷ 217
    58066 ÷ 131072     		y = 0.443008422851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383438110351562 × 2 - 1) × π
    -0.233123779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.73237995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443008422851562 × 2 - 1) × π
    0.113983154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.358088640161819
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73237995} λ = -0.73237995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.358088640161819))-π/2
    2×atan(1.43059242280378)-π/2
    2×0.960734354138503-π/2
    1.92146870827701-1.57079632675     		φ = 0.35067238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73237995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.962280°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35067238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.092047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50258 KachelY 58066 -0.73237995 0.35067238 -41.962280 20.092047
    Oben rechts KachelX + 1 50259 KachelY 58066 -0.73233202 0.35067238 -41.959534 20.092047
    Unten links KachelX 50258 KachelY + 1 58067 -0.73237995 0.35062736 -41.962280 20.089468
    Unten rechts KachelX + 1 50259 KachelY + 1 58067 -0.73233202 0.35062736 -41.959534 20.089468
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35067238-0.35062736) × R
    4.50200000000067e-05 × 6371000     		dl = 286.822420000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35067238-0.35062736) × R
    4.50200000000067e-05 × 6371000     		dr = 286.822420000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73237995--0.73233202) × cos(0.35067238) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.939141942894193 × 6371000     		do = 286.77829014049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73237995--0.73233202) × cos(0.35062736) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.939157407633587 × 6371000     		du = 286.783012484705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35067238)-sin(0.35062736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939141942894193-0.939157407633587)×R²
    abs(-0.73233202--0.73237995)×1.54647393945107e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54647393945107e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54647393945107e-05×40589641000000     		ar = 82255.1204325167m²