Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50258 / 50780
↖ ↑ ↗
← S 69.832048°
E 96.075440°		 ← 210.58 m → S 69.832048°
E 96.080932°		 →
↑
210.56 m
↓
↑
210.56 m
↓
S 69.833942°
E 96.075440°		 ← 210.56 m →
44 339 m²		 S 69.833942°
E 96.080932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766883850097656 y=0.774848937988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766883850097656 × 216)
    floor (0.766883850097656 × 65536)
    floor (50258.5)     		tx = 50258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774848937988281 × 216)
    floor (0.774848937988281 × 65536)
    floor (50780.5)     		ty = 50780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50258 / 50780 ti = "16/50258/50780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50258/50780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50258 ÷ 216
    50258 ÷ 65536     		x = 0.766876220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50780 ÷ 216
    50780 ÷ 65536     		y = 0.77484130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766876220703125 × 2 - 1) × π
    0.53375244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67683275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77484130859375 × 2 - 1) × π
    -0.5496826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7268788719129
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67683275} λ = 1.67683275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7268788719129))-π/2
    2×atan(0.177838601723077)-π/2
    2×0.175998585336715-π/2
    0.351997170673429-1.57079632675     		φ = -1.21879916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67683275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.075440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21879916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.832048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50258 KachelY 50780 1.67683275 -1.21879916 96.075440 -69.832048
    Oben rechts KachelX + 1 50259 KachelY 50780 1.67692862 -1.21879916 96.080932 -69.832048
    Unten links KachelX 50258 KachelY + 1 50781 1.67683275 -1.21883221 96.075440 -69.833942
    Unten rechts KachelX + 1 50259 KachelY + 1 50781 1.67692862 -1.21883221 96.080932 -69.833942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21879916--1.21883221) × R
    3.30499999998679e-05 × 6371000     		dl = 210.561549999158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21879916--1.21883221) × R
    3.30499999998679e-05 × 6371000     		dr = 210.561549999158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67683275-1.67692862) × cos(-1.21879916) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344773206344636 × 6371000     		do = 210.583257858986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67683275-1.67692862) × cos(-1.21883221) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344742182583523 × 6371000     		du = 210.564308925118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21879916)-sin(-1.21883221))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344773206344636-0.344742182583523)×R²
    abs(1.67692862-1.67683275)×3.10237611134689e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10237611134689e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10237611134689e-05×40589641000000     		ar = 44338.7422244325m²