Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50258 / 49425
↖ ↑ ↗
← S 67.103793°
E 96.075440°		 ← 237.63 m → S 67.103793°
E 96.080932°		 →
↑
237.57 m
↓
↑
237.57 m
↓
S 67.105930°
E 96.075440°		 ← 237.61 m →
56 454 m²		 S 67.105930°
E 96.080932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50258 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766883850097656 y=0.754173278808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766883850097656 × 216)
    floor (0.766883850097656 × 65536)
    floor (50258.5)     		tx = 50258
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754173278808594 × 216)
    floor (0.754173278808594 × 65536)
    floor (49425.5)     		ty = 49425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50258 / 49425 ti = "16/50258/49425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50258/49425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50258 ÷ 216
    50258 ÷ 65536     		x = 0.766876220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49425 ÷ 216
    49425 ÷ 65536     		y = 0.754165649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766876220703125 × 2 - 1) × π
    0.53375244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67683275
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754165649414062 × 2 - 1) × π
    -0.508331298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59696987394255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67683275} λ = 1.67683275}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59696987394255))-π/2
    2×atan(0.202509217704617)-π/2
    2×0.199807100834693-π/2
    0.399614201669387-1.57079632675     		φ = -1.17118213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67683275} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.075440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17118213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.103793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50258 KachelY 49425 1.67683275 -1.17118213 96.075440 -67.103793
    Oben rechts KachelX + 1 50259 KachelY 49425 1.67692862 -1.17118213 96.080932 -67.103793
    Unten links KachelX 50258 KachelY + 1 49426 1.67683275 -1.17121942 96.075440 -67.105930
    Unten rechts KachelX + 1 50259 KachelY + 1 49426 1.67692862 -1.17121942 96.080932 -67.105930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17118213--1.17121942) × R
    3.72899999998566e-05 × 6371000     		dl = 237.574589999086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17118213--1.17121942) × R
    3.72899999998566e-05 × 6371000     		dr = 237.574589999086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67683275-1.67692862) × cos(-1.17118213) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.38906296505257 × 6371000     		do = 237.634900814042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67683275-1.67692862) × cos(-1.17121942) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.389028612817757 × 6371000     		du = 237.613918889146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17118213)-sin(-1.17121942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38906296505257-0.389028612817757)×R²
    abs(1.67692862-1.67683275)×3.43522348131287e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.43522348131287e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.43522348131287e-05×40589641000000     		ar = 56453.5217507696m²