Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50257 / 58065
↖ ↑ ↗
← N 20.094627°
W 41.965027°		 ← 286.83 m → N 20.094627°
W 41.962280°		 →
↑
286.82 m
↓
↑
286.82 m
↓
N 20.092047°
W 41.965027°		 ← 286.84 m →
82 271 m²		 N 20.092047°
W 41.962280°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383434295654297 y=0.443004608154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383434295654297 × 217)
    floor (0.383434295654297 × 131072)
    floor (50257.5)     		tx = 50257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.443004608154297 × 217)
    floor (0.443004608154297 × 131072)
    floor (58065.5)     		ty = 58065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50257 / 58065 ti = "17/50257/58065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50257/58065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50257 ÷ 217
    50257 ÷ 131072     		x = 0.383430480957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58065 ÷ 217
    58065 ÷ 131072     		y = 0.443000793457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383430480957031 × 2 - 1) × π
    -0.233139038085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.73242789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.443000793457031 × 2 - 1) × π
    0.113998413085938 × 3.1415926535     		Φ = 0.35813657706144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73242789} λ = -0.73242789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35813657706144))-π/2
    2×atan(1.43066100261289)-π/2
    2×0.960756863729665-π/2
    1.92151372745933-1.57079632675     		φ = 0.35071740
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73242789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.965027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35071740 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.094627°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50257 KachelY 58065 -0.73242789 0.35071740 -41.965027 20.094627
    Oben rechts KachelX + 1 50258 KachelY 58065 -0.73237995 0.35071740 -41.962280 20.094627
    Unten links KachelX 50257 KachelY + 1 58066 -0.73242789 0.35067238 -41.965027 20.092047
    Unten rechts KachelX + 1 50258 KachelY + 1 58066 -0.73237995 0.35067238 -41.962280 20.092047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35071740-0.35067238) × R
    4.50200000000067e-05 × 6371000     		dl = 286.822420000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35071740-0.35067238) × R
    4.50200000000067e-05 × 6371000     		dr = 286.822420000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73242789--0.73237995) × cos(0.35071740) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.939126476251345 × 6371000     		do = 286.833398962471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73242789--0.73237995) × cos(0.35067238) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.939141942894193 × 6371000     		du = 286.838122873308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35071740)-sin(0.35067238))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939126476251345-0.939141942894193)×R²
    abs(-0.73237995--0.73242789)×1.54666428477945e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54666428477945e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54666428477945e-05×40589641000000     		ar = 82270.927102944m²