Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50257 / 49324
↖ ↑ ↗
← S 66.886972°
E 96.069946°		 ← 239.79 m → S 66.886972°
E 96.075440°		 →
↑
239.74 m
↓
↑
239.74 m
↓
S 66.889128°
E 96.069946°		 ← 239.77 m →
57 484 m²		 S 66.889128°
E 96.075440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766868591308594 y=0.752632141113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766868591308594 × 216)
    floor (0.766868591308594 × 65536)
    floor (50257.5)     		tx = 50257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752632141113281 × 216)
    floor (0.752632141113281 × 65536)
    floor (49324.5)     		ty = 49324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50257 / 49324 ti = "16/50257/49324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50257/49324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50257 ÷ 216
    50257 ÷ 65536     		x = 0.766860961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49324 ÷ 216
    49324 ÷ 65536     		y = 0.75262451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766860961914062 × 2 - 1) × π
    0.533721923828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67673687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75262451171875 × 2 - 1) × π
    -0.5052490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.5872866202193
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67673687} λ = 1.67673687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5872866202193))-π/2
    2×atan(0.204479690739297)-π/2
    2×0.201699220684964-π/2
    0.403398441369928-1.57079632675     		φ = -1.16739789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67673687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.069946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16739789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.886972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50257 KachelY 49324 1.67673687 -1.16739789 96.069946 -66.886972
    Oben rechts KachelX + 1 50258 KachelY 49324 1.67683275 -1.16739789 96.075440 -66.886972
    Unten links KachelX 50257 KachelY + 1 49325 1.67673687 -1.16743552 96.069946 -66.889128
    Unten rechts KachelX + 1 50258 KachelY + 1 49325 1.67683275 -1.16743552 96.075440 -66.889128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16739789--1.16743552) × R
    3.76300000000107e-05 × 6371000     		dl = 239.740730000068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16739789--1.16743552) × R
    3.76300000000107e-05 × 6371000     		dr = 239.740730000068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67673687-1.67683275) × cos(-1.16739789) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.392546255089161 × 6371000     		do = 239.787460889514m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67673687-1.67683275) × cos(-1.16743552) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.392511645286145 × 6371000     		du = 239.766319440119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16739789)-sin(-1.16743552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392546255089161-0.392511645286145)×R²
    abs(1.67683275-1.67673687)×3.46098030157838e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.46098030157838e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.46098030157838e-05×40589641000000     		ar = 57484.2866919052m²