Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50257 / 49042
↖ ↑ ↗
← S 66.271277°
E 96.069946°		 ← 245.81 m → S 66.271277°
E 96.075440°		 →
↑
245.79 m
↓
↑
245.79 m
↓
S 66.273488°
E 96.069946°		 ← 245.79 m →
60 416 m²		 S 66.273488°
E 96.075440°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50257 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766868591308594 y=0.748329162597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766868591308594 × 216)
    floor (0.766868591308594 × 65536)
    floor (50257.5)     		tx = 50257
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748329162597656 × 216)
    floor (0.748329162597656 × 65536)
    floor (49042.5)     		ty = 49042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50257 / 49042 ti = "16/50257/49042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50257/49042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50257 ÷ 216
    50257 ÷ 65536     		x = 0.766860961914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49042 ÷ 216
    49042 ÷ 65536     		y = 0.748321533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766860961914062 × 2 - 1) × π
    0.533721923828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67673687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748321533203125 × 2 - 1) × π
    -0.49664306640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56025020883359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67673687} λ = 1.67673687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56025020883359))-π/2
    2×atan(0.210083499876674)-π/2
    2×0.207072165941106-π/2
    0.414144331882213-1.57079632675     		φ = -1.15665199
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67673687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.069946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15665199 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.271277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50257 KachelY 49042 1.67673687 -1.15665199 96.069946 -66.271277
    Oben rechts KachelX + 1 50258 KachelY 49042 1.67683275 -1.15665199 96.075440 -66.271277
    Unten links KachelX 50257 KachelY + 1 49043 1.67673687 -1.15669057 96.069946 -66.273488
    Unten rechts KachelX + 1 50258 KachelY + 1 49043 1.67683275 -1.15669057 96.075440 -66.273488
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15665199--1.15669057) × R
    3.85800000000103e-05 × 6371000     		dl = 245.793180000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15665199--1.15669057) × R
    3.85800000000103e-05 × 6371000     		dr = 245.793180000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67673687-1.67683275) × cos(-1.15665199) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.402406751517676 × 6371000     		do = 245.810759726404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67673687-1.67683275) × cos(-1.15669057) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.402371432733593 × 6371000     		du = 245.789185194875m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15665199)-sin(-1.15669057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402406751517676-0.402371432733593)×R²
    abs(1.67683275-1.67673687)×3.53187840831382e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.53187840831382e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.53187840831382e-05×40589641000000     		ar = 60415.9568824494m²