Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50256 / 49116
↖ ↑ ↗
← S 66.434323°
E 96.064453°		 ← 244.19 m → S 66.434323°
E 96.069946°		 →
↑
244.20 m
↓
↑
244.20 m
↓
S 66.436520°
E 96.064453°		 ← 244.17 m →
59 629 m²		 S 66.436520°
E 96.069946°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766853332519531 y=0.749458312988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766853332519531 × 216)
    floor (0.766853332519531 × 65536)
    floor (50256.5)     		tx = 50256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749458312988281 × 216)
    floor (0.749458312988281 × 65536)
    floor (49116.5)     		ty = 49116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50256 / 49116 ti = "16/50256/49116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50256/49116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50256 ÷ 216
    50256 ÷ 65536     		x = 0.766845703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49116 ÷ 216
    49116 ÷ 65536     		y = 0.74945068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766845703125 × 2 - 1) × π
    0.53369140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67664100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74945068359375 × 2 - 1) × π
    -0.4989013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.56734486997736
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67664100} λ = 1.67664100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56734486997736))-π/2
    2×atan(0.208598303345889)-π/2
    2×0.205649323715138-π/2
    0.411298647430276-1.57079632675     		φ = -1.15949768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67664100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.064453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15949768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.434323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50256 KachelY 49116 1.67664100 -1.15949768 96.064453 -66.434323
    Oben rechts KachelX + 1 50257 KachelY 49116 1.67673687 -1.15949768 96.069946 -66.434323
    Unten links KachelX 50256 KachelY + 1 49117 1.67664100 -1.15953601 96.064453 -66.436520
    Unten rechts KachelX + 1 50257 KachelY + 1 49117 1.67673687 -1.15953601 96.069946 -66.436520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15949768--1.15953601) × R
    3.83299999999753e-05 × 6371000     		dl = 244.200429999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15949768--1.15953601) × R
    3.83299999999753e-05 × 6371000     		dr = 244.200429999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67664100-1.67673687) × cos(-1.15949768) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399800007542755 × 6371000     		do = 244.192955053017m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67664100-1.67673687) × cos(-1.15953601) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.399764873879201 × 6371000     		du = 244.171495841003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15949768)-sin(-1.15953601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.399800007542755-0.399764873879201)×R²
    abs(1.67673687-1.67664100)×3.51336635547317e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.51336635547317e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.51336635547317e-05×40589641000000     		ar = 59629.4044599358m²