Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50252 / 49364
↖ ↑ ↗
← S 66.973073°
E 96.042481°		 ← 238.92 m → S 66.973073°
E 96.047974°		 →
↑
238.91 m
↓
↑
238.91 m
↓
S 66.975221°
E 96.042481°		 ← 238.90 m →
57 078 m²		 S 66.975221°
E 96.047974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50252 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766792297363281 y=0.753242492675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766792297363281 × 216)
    floor (0.766792297363281 × 65536)
    floor (50252.5)     		tx = 50252
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753242492675781 × 216)
    floor (0.753242492675781 × 65536)
    floor (49364.5)     		ty = 49364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50252 / 49364 ti = "16/50252/49364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50252/49364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50252 ÷ 216
    50252 ÷ 65536     		x = 0.76678466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49364 ÷ 216
    49364 ÷ 65536     		y = 0.75323486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76678466796875 × 2 - 1) × π
    0.5335693359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67625751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75323486328125 × 2 - 1) × π
    -0.5064697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5911215721889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67625751} λ = 1.67625751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5911215721889))-π/2
    2×atan(0.203697022653028)-π/2
    2×0.200947848815121-π/2
    0.401895697630241-1.57079632675     		φ = -1.16890063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67625751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.042481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16890063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.973073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50252 KachelY 49364 1.67625751 -1.16890063 96.042481 -66.973073
    Oben rechts KachelX + 1 50253 KachelY 49364 1.67635338 -1.16890063 96.047974 -66.973073
    Unten links KachelX 50252 KachelY + 1 49365 1.67625751 -1.16893813 96.042481 -66.975221
    Unten rechts KachelX + 1 50253 KachelY + 1 49365 1.67635338 -1.16893813 96.047974 -66.975221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16890063--1.16893813) × R
    3.74999999999126e-05 × 6371000     		dl = 238.912499999443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16890063--1.16893813) × R
    3.74999999999126e-05 × 6371000     		dr = 238.912499999443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67625751-1.67635338) × cos(-1.16890063) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.391163693917513 × 6371000     		do = 238.918000312835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67625751-1.67635338) × cos(-1.16893813) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.391129181600471 × 6371000     		du = 238.896920611672m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16890063)-sin(-1.16893813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.391163693917513-0.391129181600471)×R²
    abs(1.67635338-1.67625751)×3.45123170419348e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.45123170419348e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.45123170419348e-05×40589641000000     		ar = 57077.9786544268m²