Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50251 / 58045
↖ ↑ ↗
← N 20.146206°
W 41.981506°		 ← 286.74 m → N 20.146206°
W 41.978760°		 →
↑
286.76 m
↓
↑
286.76 m
↓
N 20.143627°
W 41.981506°		 ← 286.74 m →
82 226 m²		 N 20.143627°
W 41.978760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383388519287109 y=0.442852020263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383388519287109 × 217)
    floor (0.383388519287109 × 131072)
    floor (50251.5)     		tx = 50251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442852020263672 × 217)
    floor (0.442852020263672 × 131072)
    floor (58045.5)     		ty = 58045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50251 / 58045 ti = "17/50251/58045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50251/58045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50251 ÷ 217
    50251 ÷ 131072     		x = 0.383384704589844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58045 ÷ 217
    58045 ÷ 131072     		y = 0.442848205566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383384704589844 × 2 - 1) × π
    -0.233230590820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.73271551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442848205566406 × 2 - 1) × π
    0.114303588867188 × 3.1415926535     		Φ = 0.359095315053841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73271551} λ = -0.73271551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.359095315053841))-π/2
    2×atan(1.43203328939696)-π/2
    2×0.961206977648225-π/2
    1.92241395529645-1.57079632675     		φ = 0.35161763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73271551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.981506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35161763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.146206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50251 KachelY 58045 -0.73271551 0.35161763 -41.981506 20.146206
    Oben rechts KachelX + 1 50252 KachelY 58045 -0.73266757 0.35161763 -41.978760 20.146206
    Unten links KachelX 50251 KachelY + 1 58046 -0.73271551 0.35157262 -41.981506 20.143627
    Unten rechts KachelX + 1 50252 KachelY + 1 58046 -0.73266757 0.35157262 -41.978760 20.143627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35161763-0.35157262) × R
    4.5010000000012e-05 × 6371000     		dl = 286.758710000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35161763-0.35157262) × R
    4.5010000000012e-05 × 6371000     		dr = 286.758710000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73271551--0.73266757) × cos(0.35161763) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938816802268397 × 6371000     		do = 286.738816557071m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73271551--0.73266757) × cos(0.35157262) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93883230352279 × 6371000     		du = 286.743551039165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35161763)-sin(0.35157262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938816802268397-0.93883230352279)×R²
    abs(-0.73266757--0.73271551)×1.5501254393202e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5501254393202e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5501254393202e-05×40589641000000     		ar = 82225.5319836582m²