Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50251 / 48699
↖ ↑ ↗
← S 65.501576°
E 96.036987°		 ← 253.30 m → S 65.501576°
E 96.042481°		 →
↑
253.31 m
↓
↑
253.31 m
↓
S 65.503854°
E 96.036987°		 ← 253.28 m →
64 161 m²		 S 65.503854°
E 96.042481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766777038574219 y=0.743095397949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766777038574219 × 216)
    floor (0.766777038574219 × 65536)
    floor (50251.5)     		tx = 50251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743095397949219 × 216)
    floor (0.743095397949219 × 65536)
    floor (48699.5)     		ty = 48699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50251 / 48699 ti = "16/50251/48699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50251/48699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50251 ÷ 216
    50251 ÷ 65536     		x = 0.766769409179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48699 ÷ 216
    48699 ÷ 65536     		y = 0.743087768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766769409179688 × 2 - 1) × π
    0.533538818359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67616163
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743087768554688 × 2 - 1) × π
    -0.486175537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52736549569423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67616163} λ = 1.67616163}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52736549569423))-π/2
    2×atan(0.217106883569361)-π/2
    2×0.213789081629218-π/2
    0.427578163258436-1.57079632675     		φ = -1.14321816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67616163} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.036987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14321816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.501576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50251 KachelY 48699 1.67616163 -1.14321816 96.036987 -65.501576
    Oben rechts KachelX + 1 50252 KachelY 48699 1.67625751 -1.14321816 96.042481 -65.501576
    Unten links KachelX 50251 KachelY + 1 48700 1.67616163 -1.14325792 96.036987 -65.503854
    Unten rechts KachelX + 1 50252 KachelY + 1 48700 1.67625751 -1.14325792 96.042481 -65.503854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14321816--1.14325792) × R
    3.97599999999443e-05 × 6371000     		dl = 253.310959999645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14321816--1.14325792) × R
    3.97599999999443e-05 × 6371000     		dr = 253.310959999645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67616163-1.67625751) × cos(-1.14321816) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.414668218615706 × 6371000     		do = 253.300695050201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67616163-1.67625751) × cos(-1.14325792) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.414632037774409 × 6371000     		du = 253.278593929747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14321816)-sin(-1.14325792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414668218615706-0.414632037774409)×R²
    abs(1.67625751-1.67616163)×3.61808412971953e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.61808412971953e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.61808412971953e-05×40589641000000     		ar = 64161.0430119744m²