Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50250 / 48695
↖ ↑ ↗
← S 65.492463°
E 96.031494°		 ← 253.36 m → S 65.492463°
E 96.036987°		 →
↑
253.37 m
↓
↑
253.37 m
↓
S 65.494741°
E 96.031494°		 ← 253.34 m →
64 193 m²		 S 65.494741°
E 96.036987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766761779785156 y=0.743034362792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766761779785156 × 216)
    floor (0.766761779785156 × 65536)
    floor (50250.5)     		tx = 50250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743034362792969 × 216)
    floor (0.743034362792969 × 65536)
    floor (48695.5)     		ty = 48695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50250 / 48695 ti = "16/50250/48695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50250/48695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50250 ÷ 216
    50250 ÷ 65536     		x = 0.766754150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48695 ÷ 216
    48695 ÷ 65536     		y = 0.743026733398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766754150390625 × 2 - 1) × π
    0.53350830078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67606576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743026733398438 × 2 - 1) × π
    -0.486053466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52698200049727
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67606576} λ = 1.67606576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52698200049727))-π/2
    2×atan(0.217190158983277)-π/2
    2×0.213868607138559-π/2
    0.427737214277118-1.57079632675     		φ = -1.14305911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67606576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.031494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14305911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.492463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50250 KachelY 48695 1.67606576 -1.14305911 96.031494 -65.492463
    Oben rechts KachelX + 1 50251 KachelY 48695 1.67616163 -1.14305911 96.036987 -65.492463
    Unten links KachelX 50250 KachelY + 1 48696 1.67606576 -1.14309888 96.031494 -65.494741
    Unten rechts KachelX + 1 50251 KachelY + 1 48696 1.67616163 -1.14309888 96.036987 -65.494741
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14305911--1.14309888) × R
    3.97699999998835e-05 × 6371000     		dl = 253.374669999258m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14305911--1.14309888) × R
    3.97699999998835e-05 × 6371000     		dr = 253.374669999258m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67606576-1.67616163) × cos(-1.14305911) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.414812944524076 × 6371000     		do = 253.362673352988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67606576-1.67616163) × cos(-1.14309888) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.41477675720618 × 6371000     		du = 253.340570581789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14305911)-sin(-1.14309888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414812944524076-0.41477675720618)×R²
    abs(1.67616163-1.67606576)×3.61873178953975e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.61873178953975e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.61873178953975e-05×40589641000000     		ar = 64192.8836182263m²