Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5025 / 2658
↖ ↑ ↗
← N 76.341523°
W 69.587402°		 ← 576.94 m → N 76.341523°
W 69.565429°		 →
↑
577.09 m
↓
↑
577.09 m
↓
N 76.336334°
W 69.587402°		 ← 577.16 m →
333 006 m²		 N 76.336334°
W 69.565429°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.306732177734375 y=0.162261962890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.306732177734375 × 214)
    floor (0.306732177734375 × 16384)
    floor (5025.5)     		tx = 5025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.162261962890625 × 214)
    floor (0.162261962890625 × 16384)
    floor (2658.5)     		ty = 2658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5025 / 2658 ti = "14/5025/2658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5025/2658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5025 ÷ 214
    5025 ÷ 16384     		x = 0.30670166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2658 ÷ 214
    2658 ÷ 16384     		y = 0.1622314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.30670166015625 × 2 - 1) × π
    -0.3865966796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.21452929
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1622314453125 × 2 - 1) × π
    0.675537109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12226241997913
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.21452929} λ = -1.21452929}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12226241997913))-π/2
    2×atan(8.35000735732486)-π/2
    2×1.45160363231183-π/2
    2.90320726462366-1.57079632675     		φ = 1.33241094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.21452929} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.587402°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33241094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.341523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5025 KachelY 2658 -1.21452929 1.33241094 -69.587402 76.341523
    Oben rechts KachelX + 1 5026 KachelY 2658 -1.21414579 1.33241094 -69.565429 76.341523
    Unten links KachelX 5025 KachelY + 1 2659 -1.21452929 1.33232036 -69.587402 76.336334
    Unten rechts KachelX + 1 5026 KachelY + 1 2659 -1.21414579 1.33232036 -69.565429 76.336334
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33241094-1.33232036) × R
    9.05799999999513e-05 × 6371000     		dl = 577.085179999689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33241094-1.33232036) × R
    9.05799999999513e-05 × 6371000     		dr = 577.085179999689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.21452929--1.21414579) × cos(1.33241094) × R
    0.000383500000000092 × 0.236133982145325 × 6371000     		do = 576.941081695195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.21452929--1.21414579) × cos(1.33232036) × R
    0.000383500000000092 × 0.236221999619962 × 6371000     		du = 577.1561328986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33241094)-sin(1.33232036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.236133982145325-0.236221999619962)×R²
    abs(-1.21414579--1.21452929)×8.80174746369367e-05×R²
    0.000383500000000092×8.80174746369367e-05×6371000²
    0.000383500000000092×8.80174746369367e-05×40589641000000     		ar = 333006.199638104m²