Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50249 / 58056
↖ ↑ ↗
← N 20.117840°
W 41.986999°		 ← 286.73 m → N 20.117840°
W 41.984253°		 →
↑
286.76 m
↓
↑
286.76 m
↓
N 20.115261°
W 41.986999°		 ← 286.74 m →
82 223 m²		 N 20.115261°
W 41.984253°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383373260498047 y=0.442935943603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383373260498047 × 217)
    floor (0.383373260498047 × 131072)
    floor (50249.5)     		tx = 50249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442935943603516 × 217)
    floor (0.442935943603516 × 131072)
    floor (58056.5)     		ty = 58056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50249 / 58056 ti = "17/50249/58056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50249/58056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50249 ÷ 217
    50249 ÷ 131072     		x = 0.383369445800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58056 ÷ 217
    58056 ÷ 131072     		y = 0.44293212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383369445800781 × 2 - 1) × π
    -0.233261108398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.73281138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44293212890625 × 2 - 1) × π
    0.1141357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.35856800915802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73281138} λ = -0.73281138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35856800915802))-π/2
    2×atan(1.43127836885497)-π/2
    2×0.960959433362776-π/2
    1.92191886672555-1.57079632675     		φ = 0.35112254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73281138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.986999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35112254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.117840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50249 KachelY 58056 -0.73281138 0.35112254 -41.986999 20.117840
    Oben rechts KachelX + 1 50250 KachelY 58056 -0.73276345 0.35112254 -41.984253 20.117840
    Unten links KachelX 50249 KachelY + 1 58057 -0.73281138 0.35107753 -41.986999 20.115261
    Unten rechts KachelX + 1 50250 KachelY + 1 58057 -0.73276345 0.35107753 -41.984253 20.115261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35112254-0.35107753) × R
    4.50099999999565e-05 × 6371000     		dl = 286.758709999723m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35112254-0.35107753) × R
    4.50099999999565e-05 × 6371000     		dr = 286.758709999723m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73281138--0.73276345) × cos(0.35112254) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.938987204573575 × 6371000     		do = 286.731038932788m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73281138--0.73276345) × cos(0.35107753) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.939002684905302 × 6371000     		du = 286.735766038309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35112254)-sin(0.35107753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938987204573575-0.939002684905302)×R²
    abs(-0.73276345--0.73281138)×1.54803317270469e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54803317270469e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54803317270469e-05×40589641000000     		ar = 82223.3006243856m²