Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50248 / 48696
↖ ↑ ↗
← S 65.494741°
E 96.020508°		 ← 253.34 m → S 65.494741°
E 96.026001°		 →
↑
253.31 m
↓
↑
253.31 m
↓
S 65.497019°
E 96.020508°		 ← 253.32 m →
64 171 m²		 S 65.497019°
E 96.026001°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766731262207031 y=0.743049621582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766731262207031 × 216)
    floor (0.766731262207031 × 65536)
    floor (50248.5)     		tx = 50248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743049621582031 × 216)
    floor (0.743049621582031 × 65536)
    floor (48696.5)     		ty = 48696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50248 / 48696 ti = "16/50248/48696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50248/48696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50248 ÷ 216
    50248 ÷ 65536     		x = 0.7667236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48696 ÷ 216
    48696 ÷ 65536     		y = 0.7430419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7667236328125 × 2 - 1) × π
    0.533447265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67587401
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7430419921875 × 2 - 1) × π
    -0.486083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52707787429651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67587401} λ = 1.67587401}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52707787429651))-π/2
    2×atan(0.217169337135728)-π/2
    2×0.213848723159505-π/2
    0.427697446319011-1.57079632675     		φ = -1.14309888
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67587401} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 96.020508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14309888 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.494741°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50248 KachelY 48696 1.67587401 -1.14309888 96.020508 -65.494741
    Oben rechts KachelX + 1 50249 KachelY 48696 1.67596988 -1.14309888 96.026001 -65.494741
    Unten links KachelX 50248 KachelY + 1 48697 1.67587401 -1.14313864 96.020508 -65.497019
    Unten rechts KachelX + 1 50249 KachelY + 1 48697 1.67596988 -1.14313864 96.026001 -65.497019
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14309888--1.14313864) × R
    3.97600000001663e-05 × 6371000     		dl = 253.31096000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14309888--1.14313864) × R
    3.97600000001663e-05 × 6371000     		dr = 253.31096000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67587401-1.67596988) × cos(-1.14309888) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.41477675720618 × 6371000     		do = 253.340570581789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67587401-1.67596988) × cos(-1.14313864) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.414740578331649 × 6371000     		du = 253.318472967693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14309888)-sin(-1.14313864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41477675720618-0.414740578331649)×R²
    abs(1.67596988-1.67587401)×3.61788745315561e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.61788745315561e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.61788745315561e-05×40589641000000     		ar = 64171.1443658069m²