Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50245 / 57925
↖ ↑ ↗
← N 20.455323°
W 41.997986°		 ← 286.11 m → N 20.455323°
W 41.995240°		 →
↑
286.12 m
↓
↑
286.12 m
↓
N 20.452750°
W 41.997986°		 ← 286.11 m →
81 862 m²		 N 20.452750°
W 41.995240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383342742919922 y=0.441936492919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383342742919922 × 217)
    floor (0.383342742919922 × 131072)
    floor (50245.5)     		tx = 50245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441936492919922 × 217)
    floor (0.441936492919922 × 131072)
    floor (57925.5)     		ty = 57925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50245 / 57925 ti = "17/50245/57925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50245/57925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50245 ÷ 217
    50245 ÷ 131072     		x = 0.383338928222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57925 ÷ 217
    57925 ÷ 131072     		y = 0.441932678222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383338928222656 × 2 - 1) × π
    -0.233322143554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.73300313
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441932678222656 × 2 - 1) × π
    0.116134643554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.364847743008247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73300313} λ = -0.73300313}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.364847743008247))-π/2
    2×atan(1.44029469651605)-π/2
    2×0.963904529430189-π/2
    1.92780905886038-1.57079632675     		φ = 0.35701273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73300313} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -41.997986°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35701273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.455323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50245 KachelY 57925 -0.73300313 0.35701273 -41.997986 20.455323
    Oben rechts KachelX + 1 50246 KachelY 57925 -0.73295520 0.35701273 -41.995240 20.455323
    Unten links KachelX 50245 KachelY + 1 57926 -0.73300313 0.35696782 -41.997986 20.452750
    Unten rechts KachelX + 1 50246 KachelY + 1 57926 -0.73295520 0.35696782 -41.995240 20.452750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35701273-0.35696782) × R
    4.49100000000091e-05 × 6371000     		dl = 286.121610000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35701273-0.35696782) × R
    4.49100000000091e-05 × 6371000     		dr = 286.121610000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73300313--0.73295520) × cos(0.35701273) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.936944984495098 × 6371000     		do = 286.107422463254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73300313--0.73295520) × cos(0.35696782) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.936960678557317 × 6371000     		du = 286.112214833952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35701273)-sin(0.35696782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936944984495098-0.936960678557317)×R²
    abs(-0.73295520--0.73300313)×1.56940622192403e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.56940622192403e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.56940622192403e-05×40589641000000     		ar = 81862.2019623399m²