Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50244 / 48692
↖ ↑ ↗
← S 65.485626°
E 95.998535°		 ← 253.43 m → S 65.485626°
E 96.004028°		 →
↑
253.44 m
↓
↑
253.44 m
↓
S 65.487905°
E 95.998535°		 ← 253.41 m →
64 226 m²		 S 65.487905°
E 96.004028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766670227050781 y=0.742988586425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766670227050781 × 216)
    floor (0.766670227050781 × 65536)
    floor (50244.5)     		tx = 50244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742988586425781 × 216)
    floor (0.742988586425781 × 65536)
    floor (48692.5)     		ty = 48692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50244 / 48692 ti = "16/50244/48692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50244/48692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50244 ÷ 216
    50244 ÷ 65536     		x = 0.76666259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48692 ÷ 216
    48692 ÷ 65536     		y = 0.74298095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76666259765625 × 2 - 1) × π
    0.5333251953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67549052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74298095703125 × 2 - 1) × π
    -0.4859619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52669437909955
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67549052} λ = 1.67549052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52669437909955))-π/2
    2×atan(0.21725263650488)-π/2
    2×0.213928269484271-π/2
    0.427856538968543-1.57079632675     		φ = -1.14293979
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67549052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.998535°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14293979 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.485626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50244 KachelY 48692 1.67549052 -1.14293979 95.998535 -65.485626
    Oben rechts KachelX + 1 50245 KachelY 48692 1.67558639 -1.14293979 96.004028 -65.485626
    Unten links KachelX 50244 KachelY + 1 48693 1.67549052 -1.14297957 95.998535 -65.487905
    Unten rechts KachelX + 1 50245 KachelY + 1 48693 1.67558639 -1.14297957 96.004028 -65.487905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14293979--1.14297957) × R
    3.97800000000448e-05 × 6371000     		dl = 253.438380000285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14293979--1.14297957) × R
    3.97800000000448e-05 × 6371000     		dr = 253.438380000285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67549052-1.67558639) × cos(-1.14293979) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.414921511639565 × 6371000     		do = 253.428984819353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67549052-1.67558639) × cos(-1.14297957) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.414885317191539 × 6371000     		du = 253.406877693157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14293979)-sin(-1.14297957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414921511639565-0.414885317191539)×R²
    abs(1.67558639-1.67549052)×3.61944480256615e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.61944480256615e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.61944480256615e-05×40589641000000     		ar = 64225.8299691749m²