Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50241 / 58305
↖ ↑ ↗
← N 19.474361°
W 42.008972°		 ← 287.95 m → N 19.474361°
W 42.006225°		 →
↑
287.97 m
↓
↑
287.97 m
↓
N 19.471771°
W 42.008972°		 ← 287.96 m →
82 922 m²		 N 19.471771°
W 42.006225°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58305 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383312225341797 y=0.444835662841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383312225341797 × 217)
    floor (0.383312225341797 × 131072)
    floor (50241.5)     		tx = 50241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444835662841797 × 217)
    floor (0.444835662841797 × 131072)
    floor (58305.5)     		ty = 58305
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50241 / 58305 ti = "17/50241/58305"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50241/58305.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50241 ÷ 217
    50241 ÷ 131072     		x = 0.383308410644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58305 ÷ 217
    58305 ÷ 131072     		y = 0.444831848144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383308410644531 × 2 - 1) × π
    -0.233383178710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.73319488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444831848144531 × 2 - 1) × π
    0.110336303710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.346631721152626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73319488} λ = -0.73319488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.346631721152626))-π/2
    2×atan(1.41429577423109)-π/2
    2×0.955344021015169-π/2
    1.91068804203034-1.57079632675     		φ = 0.33989172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73319488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.008972°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33989172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.474361°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50241 KachelY 58305 -0.73319488 0.33989172 -42.008972 19.474361
    Oben rechts KachelX + 1 50242 KachelY 58305 -0.73314694 0.33989172 -42.006225 19.474361
    Unten links KachelX 50241 KachelY + 1 58306 -0.73319488 0.33984652 -42.008972 19.471771
    Unten rechts KachelX + 1 50242 KachelY + 1 58306 -0.73314694 0.33984652 -42.006225 19.471771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33989172-0.33984652) × R
    4.5200000000023e-05 × 6371000     		dl = 287.969200000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33989172-0.33984652) × R
    4.5200000000023e-05 × 6371000     		dr = 287.969200000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73319488--0.73314694) × cos(0.33989172) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942790769983922 × 6371000     		do = 287.95256858732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73319488--0.73314694) × cos(0.33984652) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942805838023231 × 6371000     		du = 287.957170754376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33989172)-sin(0.33984652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942790769983922-0.942805838023231)×R²
    abs(-0.73314694--0.73319488)×1.5068039308952e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5068039308952e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5068039308952e-05×40589641000000     		ar = 82922.1334693942m²