Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50241 / 51010
↖ ↑ ↗
← S 70.263163°
E 95.982055°		 ← 206.28 m → S 70.263163°
E 95.987549°		 →
↑
206.23 m
↓
↑
206.23 m
↓
S 70.265017°
E 95.982055°		 ← 206.27 m →
42 540 m²		 S 70.265017°
E 95.987549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766624450683594 y=0.778358459472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766624450683594 × 216)
    floor (0.766624450683594 × 65536)
    floor (50241.5)     		tx = 50241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778358459472656 × 216)
    floor (0.778358459472656 × 65536)
    floor (51010.5)     		ty = 51010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50241 / 51010 ti = "16/50241/51010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50241/51010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50241 ÷ 216
    50241 ÷ 65536     		x = 0.766616821289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51010 ÷ 216
    51010 ÷ 65536     		y = 0.778350830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766616821289062 × 2 - 1) × π
    0.533233642578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67520289
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778350830078125 × 2 - 1) × π
    -0.55670166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74892984573813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67520289} λ = 1.67520289}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74892984573813))-π/2
    2×atan(0.173960007917715)-π/2
    2×0.172236399828429-π/2
    0.344472799656859-1.57079632675     		φ = -1.22632353
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67520289} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.982055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22632353 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.263163°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50241 KachelY 51010 1.67520289 -1.22632353 95.982055 -70.263163
    Oben rechts KachelX + 1 50242 KachelY 51010 1.67529877 -1.22632353 95.987549 -70.263163
    Unten links KachelX 50241 KachelY + 1 51011 1.67520289 -1.22635590 95.982055 -70.265017
    Unten rechts KachelX + 1 50242 KachelY + 1 51011 1.67529877 -1.22635590 95.987549 -70.265017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22632353--1.22635590) × R
    3.23700000000038e-05 × 6371000     		dl = 206.229270000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22632353--1.22635590) × R
    3.23700000000038e-05 × 6371000     		dr = 206.229270000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67520289-1.67529877) × cos(-1.22632353) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.337700492276181 × 6371000     		do = 206.284845503498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67520289-1.67529877) × cos(-1.22635590) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.337670023719576 × 6371000     		du = 206.266233740603m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22632353)-sin(-1.22635590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337700492276181-0.337670023719576)×R²
    abs(1.67529877-1.67520289)×3.04685566043239e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.04685566043239e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.04685566043239e-05×40589641000000     		ar = 42540.0539589305m²