Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50240 / 49403
↖ ↑ ↗
← S 67.056729°
E 95.976562°		 ← 238.10 m → S 67.056729°
E 95.982055°		 →
↑
238.08 m
↓
↑
238.08 m
↓
S 67.058870°
E 95.976562°		 ← 238.08 m →
56 685 m²		 S 67.058870°
E 95.982055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766609191894531 y=0.753837585449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766609191894531 × 216)
    floor (0.766609191894531 × 65536)
    floor (50240.5)     		tx = 50240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753837585449219 × 216)
    floor (0.753837585449219 × 65536)
    floor (49403.5)     		ty = 49403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50240 / 49403 ti = "16/50240/49403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50240/49403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50240 ÷ 216
    50240 ÷ 65536     		x = 0.7666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49403 ÷ 216
    49403 ÷ 65536     		y = 0.753829956054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7666015625 × 2 - 1) × π
    0.533203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67510702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753829956054688 × 2 - 1) × π
    -0.507659912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.59486065035927
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67510702} λ = 1.67510702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59486065035927))-π/2
    2×atan(0.202936805703255)-π/2
    2×0.200217810067026-π/2
    0.400435620134052-1.57079632675     		φ = -1.17036071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67510702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17036071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.056729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50240 KachelY 49403 1.67510702 -1.17036071 95.976562 -67.056729
    Oben rechts KachelX + 1 50241 KachelY 49403 1.67520289 -1.17036071 95.982055 -67.056729
    Unten links KachelX 50240 KachelY + 1 49404 1.67510702 -1.17039808 95.976562 -67.058870
    Unten rechts KachelX + 1 50241 KachelY + 1 49404 1.67520289 -1.17039808 95.982055 -67.058870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17036071--1.17039808) × R
    3.73700000000365e-05 × 6371000     		dl = 238.084270000233m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17036071--1.17039808) × R
    3.73700000000365e-05 × 6371000     		dr = 238.084270000233m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67510702-1.67520289) × cos(-1.17036071) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.389819534985673 × 6371000     		do = 238.097004476331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67510702-1.67520289) × cos(-1.17039808) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.389785121006747 × 6371000     		du = 238.075984838886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17036071)-sin(-1.17039808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389819534985673-0.389785121006747)×R²
    abs(1.67520289-1.67510702)×3.44139789260622e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.44139789260622e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.44139789260622e-05×40589641000000     		ar = 56684.6492837136m²