Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50240 / 49085
↖ ↑ ↗
← S 66.366149°
E 95.976562°		 ← 244.86 m → S 66.366149°
E 95.982055°		 →
↑
244.84 m
↓
↑
244.84 m
↓
S 66.368351°
E 95.976562°		 ← 244.84 m →
59 948 m²		 S 66.368351°
E 95.982055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766609191894531 y=0.748985290527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766609191894531 × 216)
    floor (0.766609191894531 × 65536)
    floor (50240.5)     		tx = 50240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748985290527344 × 216)
    floor (0.748985290527344 × 65536)
    floor (49085.5)     		ty = 49085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50240 / 49085 ti = "16/50240/49085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50240/49085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50240 ÷ 216
    50240 ÷ 65536     		x = 0.7666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49085 ÷ 216
    49085 ÷ 65536     		y = 0.748977661132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7666015625 × 2 - 1) × π
    0.533203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67510702
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748977661132812 × 2 - 1) × π
    -0.497955322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56437278220091
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67510702} λ = 1.67510702}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56437278220091))-π/2
    2×atan(0.20921919803316)-π/2
    2×0.206244253926913-π/2
    0.412488507853825-1.57079632675     		φ = -1.15830782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67510702} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.976562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15830782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.366149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50240 KachelY 49085 1.67510702 -1.15830782 95.976562 -66.366149
    Oben rechts KachelX + 1 50241 KachelY 49085 1.67520289 -1.15830782 95.982055 -66.366149
    Unten links KachelX 50240 KachelY + 1 49086 1.67510702 -1.15834625 95.976562 -66.368351
    Unten rechts KachelX + 1 50241 KachelY + 1 49086 1.67520289 -1.15834625 95.982055 -66.368351
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15830782--1.15834625) × R
    3.84299999998117e-05 × 6371000     		dl = 244.8375299988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15830782--1.15834625) × R
    3.84299999998117e-05 × 6371000     		dr = 244.8375299988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67510702-1.67520289) × cos(-1.15830782) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.400890352801604 × 6371000     		do = 244.858924602199m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67510702-1.67520289) × cos(-1.15834625) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.400855145781784 × 6371000     		du = 244.837420585075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15830782)-sin(-1.15834625))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400890352801604-0.400855145781784)×R²
    abs(1.67520289-1.67510702)×3.52070198198495e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.52070198198495e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.52070198198495e-05×40589641000000     		ar = 59948.0218099083m²