Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50239 / 48701
↖ ↑ ↗
← S 65.506131°
E 95.971070°		 ← 253.23 m → S 65.506131°
E 95.976562°		 →
↑
253.25 m
↓
↑
253.25 m
↓
S 65.508409°
E 95.971070°		 ← 253.21 m →
64 127 m²		 S 65.508409°
E 95.976562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766593933105469 y=0.743125915527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766593933105469 × 216)
    floor (0.766593933105469 × 65536)
    floor (50239.5)     		tx = 50239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743125915527344 × 216)
    floor (0.743125915527344 × 65536)
    floor (48701.5)     		ty = 48701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50239 / 48701 ti = "16/50239/48701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50239/48701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50239 ÷ 216
    50239 ÷ 65536     		x = 0.766586303710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48701 ÷ 216
    48701 ÷ 65536     		y = 0.743118286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766586303710938 × 2 - 1) × π
    0.533172607421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67501115
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743118286132812 × 2 - 1) × π
    -0.486236572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52755724329271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67501115} λ = 1.67501115}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52755724329271))-π/2
    2×atan(0.217065257836768)-π/2
    2×0.213749329280222-π/2
    0.427498658560445-1.57079632675     		φ = -1.14329767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67501115} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.971070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14329767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.506131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50239 KachelY 48701 1.67501115 -1.14329767 95.971070 -65.506131
    Oben rechts KachelX + 1 50240 KachelY 48701 1.67510702 -1.14329767 95.976562 -65.506131
    Unten links KachelX 50239 KachelY + 1 48702 1.67501115 -1.14333742 95.971070 -65.508409
    Unten rechts KachelX + 1 50240 KachelY + 1 48702 1.67510702 -1.14333742 95.976562 -65.508409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14329767--1.14333742) × R
    3.97500000000051e-05 × 6371000     		dl = 253.247250000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14329767--1.14333742) × R
    3.97500000000051e-05 × 6371000     		dr = 253.247250000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67501115-1.67510702) × cos(-1.14329767) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.414595865377694 × 6371000     		do = 253.230084065256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67501115-1.67510702) × cos(-1.14333742) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.414559692325891 × 6371000     		du = 253.207990007612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14329767)-sin(-1.14333742))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414595865377694-0.414559692325891)×R²
    abs(1.67510702-1.67501115)×3.61730518023684e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.61730518023684e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.61730518023684e-05×40589641000000     		ar = 64127.0247857374m²