Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50232 / 49399
↖ ↑ ↗
← S 67.048162°
E 95.932617°		 ← 238.18 m → S 67.048162°
E 95.938110°		 →
↑
238.15 m
↓
↑
238.15 m
↓
S 67.050304°
E 95.932617°		 ← 238.16 m →
56 720 m²		 S 67.050304°
E 95.938110°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766487121582031 y=0.753776550292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766487121582031 × 216)
    floor (0.766487121582031 × 65536)
    floor (50232.5)     		tx = 50232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753776550292969 × 216)
    floor (0.753776550292969 × 65536)
    floor (49399.5)     		ty = 49399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50232 / 49399 ti = "16/50232/49399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50232/49399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50232 ÷ 216
    50232 ÷ 65536     		x = 0.7664794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49399 ÷ 216
    49399 ÷ 65536     		y = 0.753768920898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7664794921875 × 2 - 1) × π
    0.532958984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67434003
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753768920898438 × 2 - 1) × π
    -0.507537841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.59447715516231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67434003} λ = 1.67434003}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59447715516231))-π/2
    2×atan(0.203014645918249)-π/2
    2×0.200292570227285-π/2
    0.400585140454571-1.57079632675     		φ = -1.17021119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67434003} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.932617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17021119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.048162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50232 KachelY 49399 1.67434003 -1.17021119 95.932617 -67.048162
    Oben rechts KachelX + 1 50233 KachelY 49399 1.67443590 -1.17021119 95.938110 -67.048162
    Unten links KachelX 50232 KachelY + 1 49400 1.67434003 -1.17024857 95.932617 -67.050304
    Unten rechts KachelX + 1 50233 KachelY + 1 49400 1.67443590 -1.17024857 95.938110 -67.050304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17021119--1.17024857) × R
    3.73799999999758e-05 × 6371000     		dl = 238.147979999846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17021119--1.17024857) × R
    3.73799999999758e-05 × 6371000     		dr = 238.147979999846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67434003-1.67443590) × cos(-1.17021119) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.38995722229032 × 6371000     		do = 238.181102198094m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67434003-1.67443590) × cos(-1.17024857) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.389922801281348 × 6371000     		du = 238.160078266783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17021119)-sin(-1.17024857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38995722229032-0.389922801281348)×R²
    abs(1.67443590-1.67434003)×3.4421008971941e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.4421008971941e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.4421008971941e-05×40589641000000     		ar = 56719.8449656834m²