Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5023 / 8799
↖ ↑ ↗
← N 63.709589°
W124.815674°		 ← 541.09 m → N 63.709589°
W124.804688°		 →
↑
541.09 m
↓
↑
541.09 m
↓
N 63.704723°
W124.815674°		 ← 541.18 m →
292 803 m²		 N 63.704723°
W124.804688°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.153305053710938 y=0.268539428710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.153305053710938 × 215)
    floor (0.153305053710938 × 32768)
    floor (5023.5)     		tx = 5023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268539428710938 × 215)
    floor (0.268539428710938 × 32768)
    floor (8799.5)     		ty = 8799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5023 / 8799 ti = "15/5023/8799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5023/8799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5023 ÷ 215
    5023 ÷ 32768     		x = 0.153289794921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8799 ÷ 215
    8799 ÷ 32768     		y = 0.268524169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.153289794921875 × 2 - 1) × π
    -0.69342041015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.17844447
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.268524169921875 × 2 - 1) × π
    0.46295166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.4544055344725
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.17844447} λ = -2.17844447}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4544055344725))-π/2
    2×atan(4.28193724477393)-π/2
    2×1.34136920930329-π/2
    2.68273841860657-1.57079632675     		φ = 1.11194209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.17844447} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.815674°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11194209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.709589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5023 KachelY 8799 -2.17844447 1.11194209 -124.815674 63.709589
    Oben rechts KachelX + 1 5024 KachelY 8799 -2.17825272 1.11194209 -124.804688 63.709589
    Unten links KachelX 5023 KachelY + 1 8800 -2.17844447 1.11185716 -124.815674 63.704723
    Unten rechts KachelX + 1 5024 KachelY + 1 8800 -2.17825272 1.11185716 -124.804688 63.704723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11194209-1.11185716) × R
    8.49300000000941e-05 × 6371000     		dl = 541.089030000599m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11194209-1.11185716) × R
    8.49300000000941e-05 × 6371000     		dr = 541.089030000599m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.17844447--2.17825272) × cos(1.11194209) × R
    0.000191749999999935 × 0.44292115180706 × 6371000     		do = 541.089863702529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.17844447--2.17825272) × cos(1.11185716) × R
    0.000191749999999935 × 0.442997295098646 × 6371000     		du = 541.182883336156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11194209)-sin(1.11185716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44292115180706-0.442997295098646)×R²
    abs(-2.17825272--2.17844447)×7.61432915867277e-05×R²
    0.000191749999999935×7.61432915867277e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.61432915867277e-05×40589641000000     		ar = 292802.955621638m²