Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5023 / 4001
↖ ↑ ↗
← N 67.331394°
W 69.631348°		 ← 941.64 m → N 67.331394°
W 69.609375°		 →
↑
941.82 m
↓
↑
941.82 m
↓
N 67.322924°
W 69.631348°		 ← 941.97 m →
887 018 m²		 N 67.322924°
W 69.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.306610107421875 y=0.244232177734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.306610107421875 × 214)
    floor (0.306610107421875 × 16384)
    floor (5023.5)     		tx = 5023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.244232177734375 × 214)
    floor (0.244232177734375 × 16384)
    floor (4001.5)     		ty = 4001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5023 / 4001 ti = "14/5023/4001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5023/4001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5023 ÷ 214
    5023 ÷ 16384     		x = 0.30657958984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4001 ÷ 214
    4001 ÷ 16384     		y = 0.24420166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.30657958984375 × 2 - 1) × π
    -0.3868408203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.21529628
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24420166015625 × 2 - 1) × π
    0.5115966796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.60722837046124
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.21529628} λ = -1.21529628}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60722837046124))-π/2
    2×atan(4.98896448634071)-π/2
    2×1.37297542146336-π/2
    2.74595084292671-1.57079632675     		φ = 1.17515452
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.21529628} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.631348°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17515452 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.331394°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5023 KachelY 4001 -1.21529628 1.17515452 -69.631348 67.331394
    Oben rechts KachelX + 1 5024 KachelY 4001 -1.21491278 1.17515452 -69.609375 67.331394
    Unten links KachelX 5023 KachelY + 1 4002 -1.21529628 1.17500669 -69.631348 67.322924
    Unten rechts KachelX + 1 5024 KachelY + 1 4002 -1.21491278 1.17500669 -69.609375 67.322924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17515452-1.17500669) × R
    0.00014782999999996 × 6371000     		dl = 941.824929999745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17515452-1.17500669) × R
    0.00014782999999996 × 6371000     		dr = 941.824929999745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.21529628--1.21491278) × cos(1.17515452) × R
    0.000383500000000092 × 0.385400494979936 × 6371000     		do = 941.640743274061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.21529628--1.21491278) × cos(1.17500669) × R
    0.000383500000000092 × 0.385536900812288 × 6371000     		du = 941.974020711521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17515452)-sin(1.17500669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385400494979936-0.385536900812288)×R²
    abs(-1.21491278--1.21529628)×0.00013640583235186×R²
    0.000383500000000092×0.00013640583235186×6371000²
    0.000383500000000092×0.00013640583235186×40589641000000     		ar = 887017.67323312m²