Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50226 / 50777
↖ ↑ ↗
← S 69.826365°
E 95.899658°		 ← 210.64 m → S 69.826365°
E 95.905151°		 →
↑
210.63 m
↓
↑
210.63 m
↓
S 69.828260°
E 95.899658°		 ← 210.62 m →
44 364 m²		 S 69.828260°
E 95.905151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766395568847656 y=0.774803161621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766395568847656 × 216)
    floor (0.766395568847656 × 65536)
    floor (50226.5)     		tx = 50226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774803161621094 × 216)
    floor (0.774803161621094 × 65536)
    floor (50777.5)     		ty = 50777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50226 / 50777 ti = "16/50226/50777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50226/50777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50226 ÷ 216
    50226 ÷ 65536     		x = 0.766387939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50777 ÷ 216
    50777 ÷ 65536     		y = 0.774795532226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766387939453125 × 2 - 1) × π
    0.53277587890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67376479
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774795532226562 × 2 - 1) × π
    -0.549591064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72659125051518
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67376479} λ = 1.67376479}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72659125051518))-π/2
    2×atan(0.177889759266923)-π/2
    2×0.17604817410675-π/2
    0.352096348213499-1.57079632675     		φ = -1.21869998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67376479} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.899658°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21869998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.826365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50226 KachelY 50777 1.67376479 -1.21869998 95.899658 -69.826365
    Oben rechts KachelX + 1 50227 KachelY 50777 1.67386066 -1.21869998 95.905151 -69.826365
    Unten links KachelX 50226 KachelY + 1 50778 1.67376479 -1.21873304 95.899658 -69.828260
    Unten rechts KachelX + 1 50227 KachelY + 1 50778 1.67386066 -1.21873304 95.905151 -69.828260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21869998--1.21873304) × R
    3.30600000000292e-05 × 6371000     		dl = 210.625260000186m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21869998--1.21873304) × R
    3.30600000000292e-05 × 6371000     		dr = 210.625260000186m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67376479-1.67386066) × cos(-1.21869998) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344866303527817 × 6371000     		do = 210.640120479894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67376479-1.67386066) × cos(-1.21873304) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.344835271510304 × 6371000     		du = 210.621166503119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21869998)-sin(-1.21873304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344866303527817-0.344835271510304)×R²
    abs(1.67386066-1.67376479)×3.10320175123113e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10320175123113e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10320175123113e-05×40589641000000     		ar = 44364.1340534477m²