Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50225 / 50705
↖ ↑ ↗
← S 69.689525°
E 95.894165°		 ← 212.03 m → S 69.689525°
E 95.899658°		 →
↑
212.03 m
↓
↑
212.03 m
↓
S 69.691432°
E 95.894165°		 ← 212.01 m →
44 954 m²		 S 69.691432°
E 95.899658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50705 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766380310058594 y=0.773704528808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766380310058594 × 216)
    floor (0.766380310058594 × 65536)
    floor (50225.5)     		tx = 50225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773704528808594 × 216)
    floor (0.773704528808594 × 65536)
    floor (50705.5)     		ty = 50705
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50225 / 50705 ti = "16/50225/50705"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50225/50705.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50225 ÷ 216
    50225 ÷ 65536     		x = 0.766372680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50705 ÷ 216
    50705 ÷ 65536     		y = 0.773696899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766372680664062 × 2 - 1) × π
    0.532745361328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67366891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773696899414062 × 2 - 1) × π
    -0.547393798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71968833696989
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67366891} λ = 1.67366891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71968833696989))-π/2
    2×atan(0.179121964907336)-π/2
    2×0.177242328664547-π/2
    0.354484657329095-1.57079632675     		φ = -1.21631167
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67366891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.894165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21631167 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.689525°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50225 KachelY 50705 1.67366891 -1.21631167 95.894165 -69.689525
    Oben rechts KachelX + 1 50226 KachelY 50705 1.67376479 -1.21631167 95.899658 -69.689525
    Unten links KachelX 50225 KachelY + 1 50706 1.67366891 -1.21634495 95.894165 -69.691432
    Unten rechts KachelX + 1 50226 KachelY + 1 50706 1.67376479 -1.21634495 95.899658 -69.691432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21631167--1.21634495) × R
    3.32800000000244e-05 × 6371000     		dl = 212.026880000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21631167--1.21634495) × R
    3.32800000000244e-05 × 6371000     		dr = 212.026880000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67366891-1.67376479) × cos(-1.21631167) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.347107109354087 × 6371000     		do = 212.030891467327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67366891-1.67376479) × cos(-1.21634495) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.347075898329477 × 6371000     		du = 212.011826166752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21631167)-sin(-1.21634495))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347107109354087-0.347075898329477)×R²
    abs(1.67376479-1.67366891)×3.12110246098452e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.12110246098452e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.12110246098452e-05×40589641000000     		ar = 44954.2272072971m²