Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50225 / 49394
↖ ↑ ↗
← S 67.037449°
E 95.894165°		 ← 238.31 m → S 67.037449°
E 95.899658°		 →
↑
238.28 m
↓
↑
238.28 m
↓
S 67.039592°
E 95.894165°		 ← 238.29 m →
56 781 m²		 S 67.039592°
E 95.899658°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766380310058594 y=0.753700256347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766380310058594 × 216)
    floor (0.766380310058594 × 65536)
    floor (50225.5)     		tx = 50225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753700256347656 × 216)
    floor (0.753700256347656 × 65536)
    floor (49394.5)     		ty = 49394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50225 / 49394 ti = "16/50225/49394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50225/49394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50225 ÷ 216
    50225 ÷ 65536     		x = 0.766372680664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49394 ÷ 216
    49394 ÷ 65536     		y = 0.753692626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766372680664062 × 2 - 1) × π
    0.532745361328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67366891
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753692626953125 × 2 - 1) × π
    -0.50738525390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59399778616611
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67366891} λ = 1.67366891}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59399778616611))-π/2
    2×atan(0.203111988174843)-π/2
    2×0.200386057560668-π/2
    0.400772115121336-1.57079632675     		φ = -1.17002421
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67366891} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.894165°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17002421 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.037449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50225 KachelY 49394 1.67366891 -1.17002421 95.894165 -67.037449
    Oben rechts KachelX + 1 50226 KachelY 49394 1.67376479 -1.17002421 95.899658 -67.037449
    Unten links KachelX 50225 KachelY + 1 49395 1.67366891 -1.17006161 95.894165 -67.039592
    Unten rechts KachelX + 1 50226 KachelY + 1 49395 1.67376479 -1.17006161 95.899658 -67.039592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17002421--1.17006161) × R
    3.74000000000763e-05 × 6371000     		dl = 238.275400000486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17002421--1.17006161) × R
    3.74000000000763e-05 × 6371000     		dr = 238.275400000486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67366891-1.67376479) × cos(-1.17002421) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.390129392821923 × 6371000     		do = 238.311116996617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67366891-1.67376479) × cos(-1.17006161) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.390094956123472 × 6371000     		du = 238.290081288402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17002421)-sin(-1.17006161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390129392821923-0.390094956123472)×R²
    abs(1.67376479-1.67366891)×3.44366984503797e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.44366984503797e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.44366984503797e-05×40589641000000     		ar = 56781.170587671m²