Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50224 / 50704
↖ ↑ ↗
← S 69.687618°
E 95.888672°		 ← 212.03 m → S 69.687618°
E 95.894165°		 →
↑
212.03 m
↓
↑
212.03 m
↓
S 69.689525°
E 95.888672°		 ← 212.01 m →
44 954 m²		 S 69.689525°
E 95.894165°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766365051269531 y=0.773689270019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766365051269531 × 216)
    floor (0.766365051269531 × 65536)
    floor (50224.5)     		tx = 50224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.773689270019531 × 216)
    floor (0.773689270019531 × 65536)
    floor (50704.5)     		ty = 50704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50224 / 50704 ti = "16/50224/50704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50224/50704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50224 ÷ 216
    50224 ÷ 65536     		x = 0.766357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50704 ÷ 216
    50704 ÷ 65536     		y = 0.773681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766357421875 × 2 - 1) × π
    0.53271484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67357304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.773681640625 × 2 - 1) × π
    -0.54736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.71959246317065
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67357304} λ = 1.67357304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.71959246317065))-π/2
    2×atan(0.179139138833891)-π/2
    2×0.17725896865129-π/2
    0.354517937302581-1.57079632675     		φ = -1.21627839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67357304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.888672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21627839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.687618°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50224 KachelY 50704 1.67357304 -1.21627839 95.888672 -69.687618
    Oben rechts KachelX + 1 50225 KachelY 50704 1.67366891 -1.21627839 95.894165 -69.687618
    Unten links KachelX 50224 KachelY + 1 50705 1.67357304 -1.21631167 95.888672 -69.689525
    Unten rechts KachelX + 1 50225 KachelY + 1 50705 1.67366891 -1.21631167 95.894165 -69.689525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21627839--1.21631167) × R
    3.32800000000244e-05 × 6371000     		dl = 212.026880000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21627839--1.21631167) × R
    3.32800000000244e-05 × 6371000     		dr = 212.026880000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67357304-1.67366891) × cos(-1.21627839) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.347138319994255 × 6371000     		do = 212.027840350833m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67357304-1.67366891) × cos(-1.21631167) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.347107109354087 × 6371000     		du = 212.008777273524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21627839)-sin(-1.21631167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.347138319994255-0.347107109354087)×R²
    abs(1.67366891-1.67357304)×3.12106401684775e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.12106401684775e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.12106401684775e-05×40589641000000     		ar = 44953.5805245595m²