Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50222 / 49397
↖ ↑ ↗
← S 67.043878°
E 95.877685°		 ← 238.25 m → S 67.043878°
E 95.883179°		 →
↑
238.21 m
↓
↑
238.21 m
↓
S 67.046020°
E 95.877685°		 ← 238.23 m →
56 751 m²		 S 67.046020°
E 95.883179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766334533691406 y=0.753746032714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766334533691406 × 216)
    floor (0.766334533691406 × 65536)
    floor (50222.5)     		tx = 50222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.753746032714844 × 216)
    floor (0.753746032714844 × 65536)
    floor (49397.5)     		ty = 49397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50222 / 49397 ti = "16/50222/49397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50222/49397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50222 ÷ 216
    50222 ÷ 65536     		x = 0.766326904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49397 ÷ 216
    49397 ÷ 65536     		y = 0.753738403320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766326904296875 × 2 - 1) × π
    0.53265380859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67338129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.753738403320312 × 2 - 1) × π
    -0.507476806640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.59428540756383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67338129} λ = 1.67338129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59428540756383))-π/2
    2×atan(0.203053577221433)-π/2
    2×0.200329960208847-π/2
    0.400659920417693-1.57079632675     		φ = -1.17013641
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67338129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.877685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17013641 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.043878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50222 KachelY 49397 1.67338129 -1.17013641 95.877685 -67.043878
    Oben rechts KachelX + 1 50223 KachelY 49397 1.67347717 -1.17013641 95.883179 -67.043878
    Unten links KachelX 50222 KachelY + 1 49398 1.67338129 -1.17017380 95.877685 -67.046020
    Unten rechts KachelX + 1 50223 KachelY + 1 49398 1.67347717 -1.17017380 95.883179 -67.046020
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17013641--1.17017380) × R
    3.7389999999915e-05 × 6371000     		dl = 238.211689999458m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17013641--1.17017380) × R
    3.7389999999915e-05 × 6371000     		dr = 238.211689999458m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67338129-1.67347717) × cos(-1.17013641) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.390026081089672 × 6371000     		do = 238.24800887207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67338129-1.67347717) × cos(-1.17017380) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.389991651962603 × 6371000     		du = 238.226977788845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17013641)-sin(-1.17017380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.390026081089672-0.389991651962603)×R²
    abs(1.67347717-1.67338129)×3.44291270694685e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.44291270694685e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.44291270694685e-05×40589641000000     		ar = 56750.9559141095m²