Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50220 / 85046
↖ ↑ ↗
← S 47.141161°
W 42.066650°		 ← 207.71 m → S 47.141161°
W 42.063904°		 →
↑
207.69 m
↓
↑
207.69 m
↓
S 47.143029°
W 42.066650°		 ← 207.70 m →
43 139 m²		 S 47.143029°
W 42.063904°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383152008056641 y=0.648853302001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383152008056641 × 217)
    floor (0.383152008056641 × 131072)
    floor (50220.5)     		tx = 50220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648853302001953 × 217)
    floor (0.648853302001953 × 131072)
    floor (85046.5)     		ty = 85046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50220 / 85046 ti = "17/50220/85046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50220/85046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50220 ÷ 217
    50220 ÷ 131072     		x = 0.383148193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85046 ÷ 217
    85046 ÷ 131072     		y = 0.648849487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383148193359375 × 2 - 1) × π
    -0.23370361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.73420155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648849487304688 × 2 - 1) × π
    -0.297698974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.935248911587296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73420155} λ = -0.73420155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.935248911587296))-π/2
    2×atan(0.392488158521287)-π/2
    2×0.374013925354108-π/2
    0.748027850708216-1.57079632675     		φ = -0.82276848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73420155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.066650°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82276848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.141161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50220 KachelY 85046 -0.73420155 -0.82276848 -42.066650 -47.141161
    Oben rechts KachelX + 1 50221 KachelY 85046 -0.73415362 -0.82276848 -42.063904 -47.141161
    Unten links KachelX 50220 KachelY + 1 85047 -0.73420155 -0.82280108 -42.066650 -47.143029
    Unten rechts KachelX + 1 50221 KachelY + 1 85047 -0.73415362 -0.82280108 -42.063904 -47.143029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82276848--0.82280108) × R
    3.25999999999382e-05 × 6371000     		dl = 207.694599999606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82276848--0.82280108) × R
    3.25999999999382e-05 × 6371000     		dr = 207.694599999606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73420155--0.73415362) × cos(-0.82276848) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.680194432832378 × 6371000     		do = 207.705552804521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73420155--0.73415362) × cos(-0.82280108) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.680170535636179 × 6371000     		du = 207.698255508178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82276848)-sin(-0.82280108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680194432832378-0.680170535636179)×R²
    abs(-0.73415362--0.73420155)×2.38971961991075e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38971961991075e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38971961991075e-05×40589641000000     		ar = 43138.5639067276m²