Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5022 / 4002
↖ ↑ ↗
← N 67.322924°
W 69.653320°		 ← 941.95 m → N 67.322924°
W 69.631348°		 →
↑
942.14 m
↓
↑
942.14 m
↓
N 67.314451°
W 69.653320°		 ← 942.28 m →
887 609 m²		 N 67.314451°
W 69.631348°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.306549072265625 y=0.244293212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.306549072265625 × 214)
    floor (0.306549072265625 × 16384)
    floor (5022.5)     		tx = 5022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.244293212890625 × 214)
    floor (0.244293212890625 × 16384)
    floor (4002.5)     		ty = 4002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5022 / 4002 ti = "14/5022/4002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5022/4002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5022 ÷ 214
    5022 ÷ 16384     		x = 0.3065185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4002 ÷ 214
    4002 ÷ 16384     		y = 0.2442626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3065185546875 × 2 - 1) × π
    -0.386962890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.21567977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2442626953125 × 2 - 1) × π
    0.511474609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.60684487526428
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.21567977} λ = -1.21567977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60684487526428))-π/2
    2×atan(4.98705160923542)-π/2
    2×1.37290150876661-π/2
    2.74580301753321-1.57079632675     		φ = 1.17500669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.21567977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.653320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17500669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.322924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5022 KachelY 4002 -1.21567977 1.17500669 -69.653320 67.322924
    Oben rechts KachelX + 1 5023 KachelY 4002 -1.21529628 1.17500669 -69.631348 67.322924
    Unten links KachelX 5022 KachelY + 1 4003 -1.21567977 1.17485881 -69.653320 67.314451
    Unten rechts KachelX + 1 5023 KachelY + 1 4003 -1.21529628 1.17485881 -69.631348 67.314451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17500669-1.17485881) × R
    0.0001478800000001 × 6371000     		dl = 942.143480000638m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17500669-1.17485881) × R
    0.0001478800000001 × 6371000     		dr = 942.143480000638m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.21567977--1.21529628) × cos(1.17500669) × R
    0.000383489999999931 × 0.385536900812288 × 6371000     		do = 941.949458155174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.21567977--1.21529628) × cos(1.17485881) × R
    0.000383489999999931 × 0.385673344350999 × 6371000     		du = 942.282819026953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17500669)-sin(1.17485881))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385536900812288-0.385673344350999)×R²
    abs(-1.21529628--1.21567977)×0.000136443538711006×R²
    0.000383489999999931×0.000136443538711006×6371000²
    0.000383489999999931×0.000136443538711006×40589641000000     		ar = 887608.578993818m²