Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50219 / 50765
↖ ↑ ↗
← S 69.803620°
E 95.861206°		 ← 210.87 m → S 69.803620°
E 95.866699°		 →
↑
210.88 m
↓
↑
210.88 m
↓
S 69.805517°
E 95.861206°		 ← 210.85 m →
44 466 m²		 S 69.805517°
E 95.866699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766288757324219 y=0.774620056152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766288757324219 × 216)
    floor (0.766288757324219 × 65536)
    floor (50219.5)     		tx = 50219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774620056152344 × 216)
    floor (0.774620056152344 × 65536)
    floor (50765.5)     		ty = 50765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50219 / 50765 ti = "16/50219/50765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50219/50765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50219 ÷ 216
    50219 ÷ 65536     		x = 0.766281127929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50765 ÷ 216
    50765 ÷ 65536     		y = 0.774612426757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766281127929688 × 2 - 1) × π
    0.532562255859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.67309367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774612426757812 × 2 - 1) × π
    -0.549224853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.7254407649243
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67309367} λ = 1.67309367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7254407649243))-π/2
    2×atan(0.178094536645849)-π/2
    2×0.176246663114186-π/2
    0.352493326228372-1.57079632675     		φ = -1.21830300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67309367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.861206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21830300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.803620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50219 KachelY 50765 1.67309367 -1.21830300 95.861206 -69.803620
    Oben rechts KachelX + 1 50220 KachelY 50765 1.67318954 -1.21830300 95.866699 -69.803620
    Unten links KachelX 50219 KachelY + 1 50766 1.67309367 -1.21833610 95.861206 -69.805517
    Unten rechts KachelX + 1 50220 KachelY + 1 50766 1.67318954 -1.21833610 95.866699 -69.805517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21830300--1.21833610) × R
    3.31000000000081e-05 × 6371000     		dl = 210.880100000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21830300--1.21833610) × R
    3.31000000000081e-05 × 6371000     		dr = 210.880100000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67309367-1.67318954) × cos(-1.21830300) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.345238902341881 × 6371000     		do = 210.867699278641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67309367-1.67318954) × cos(-1.21833610) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.34520783731164 × 6371000     		du = 210.848725138095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21830300)-sin(-1.21833610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345238902341881-0.34520783731164)×R²
    abs(1.67318954-1.67309367)×3.10650302410287e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.10650302410287e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.10650302410287e-05×40589641000000     		ar = 44465.8008802559m²