Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50218 / 85046
↖ ↑ ↗
← S 47.141161°
W 42.072144°		 ← 207.75 m → S 47.141161°
W 42.069397°		 →
↑
207.69 m
↓
↑
207.69 m
↓
S 47.143029°
W 42.072144°		 ← 207.74 m →
43 148 m²		 S 47.143029°
W 42.069397°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383136749267578 y=0.648853302001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383136749267578 × 217)
    floor (0.383136749267578 × 131072)
    floor (50218.5)     		tx = 50218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648853302001953 × 217)
    floor (0.648853302001953 × 131072)
    floor (85046.5)     		ty = 85046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50218 / 85046 ti = "17/50218/85046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50218/85046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50218 ÷ 217
    50218 ÷ 131072     		x = 0.383132934570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85046 ÷ 217
    85046 ÷ 131072     		y = 0.648849487304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383132934570312 × 2 - 1) × π
    -0.233734130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73429743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648849487304688 × 2 - 1) × π
    -0.297698974609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.935248911587296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73429743} λ = -0.73429743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.935248911587296))-π/2
    2×atan(0.392488158521287)-π/2
    2×0.374013925354108-π/2
    0.748027850708216-1.57079632675     		φ = -0.82276848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73429743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.072144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82276848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.141161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50218 KachelY 85046 -0.73429743 -0.82276848 -42.072144 -47.141161
    Oben rechts KachelX + 1 50219 KachelY 85046 -0.73424949 -0.82276848 -42.069397 -47.141161
    Unten links KachelX 50218 KachelY + 1 85047 -0.73429743 -0.82280108 -42.072144 -47.143029
    Unten rechts KachelX + 1 50219 KachelY + 1 85047 -0.73424949 -0.82280108 -42.069397 -47.143029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82276848--0.82280108) × R
    3.25999999999382e-05 × 6371000     		dl = 207.694599999606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82276848--0.82280108) × R
    3.25999999999382e-05 × 6371000     		dr = 207.694599999606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73429743--0.73424949) × cos(-0.82276848) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.680194432832378 × 6371000     		do = 207.748887992054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73429743--0.73424949) × cos(-0.82280108) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.680170535636179 × 6371000     		du = 207.741589173221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82276848)-sin(-0.82280108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680194432832378-0.680170535636179)×R²
    abs(-0.73424949--0.73429743)×2.38971961991075e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38971961991075e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38971961991075e-05×40589641000000     		ar = 43147.5642330626m²