Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50217 / 85049
↖ ↑ ↗
← S 47.146766°
W 42.074890°		 ← 207.73 m → S 47.146766°
W 42.072144°		 →
↑
207.69 m
↓
↑
207.69 m
↓
S 47.148633°
W 42.074890°		 ← 207.72 m →
43 143 m²		 S 47.148633°
W 42.072144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383129119873047 y=0.648876190185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383129119873047 × 217)
    floor (0.383129119873047 × 131072)
    floor (50217.5)     		tx = 50217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648876190185547 × 217)
    floor (0.648876190185547 × 131072)
    floor (85049.5)     		ty = 85049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50217 / 85049 ti = "17/50217/85049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50217/85049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50217 ÷ 217
    50217 ÷ 131072     		x = 0.383125305175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85049 ÷ 217
    85049 ÷ 131072     		y = 0.648872375488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383125305175781 × 2 - 1) × π
    -0.233749389648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.73434537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648872375488281 × 2 - 1) × π
    -0.297744750976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.935392722286156
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73434537} λ = -0.73434537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.935392722286156))-π/2
    2×atan(0.392431718583347)-π/2
    2×0.373965018313488-π/2
    0.747930036626977-1.57079632675     		φ = -0.82286629
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73434537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.074890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82286629 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.146766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50217 KachelY 85049 -0.73434537 -0.82286629 -42.074890 -47.146766
    Oben rechts KachelX + 1 50218 KachelY 85049 -0.73429743 -0.82286629 -42.072144 -47.146766
    Unten links KachelX 50217 KachelY + 1 85050 -0.73434537 -0.82289889 -42.074890 -47.148633
    Unten rechts KachelX + 1 50218 KachelY + 1 85050 -0.73429743 -0.82289889 -42.072144 -47.148633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82286629--0.82289889) × R
    3.26000000000493e-05 × 6371000     		dl = 207.694600000314m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82286629--0.82289889) × R
    3.26000000000493e-05 × 6371000     		dr = 207.694600000314m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73434537--0.73429743) × cos(-0.82286629) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.680122731744249 × 6371000     		do = 207.726988633673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73434537--0.73429743) × cos(-0.82289889) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.68009883237933 × 6371000     		du = 207.719689152457m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82286629)-sin(-0.82289889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680122731744249-0.68009883237933)×R²
    abs(-0.73429743--0.73434537)×2.38993649188668e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38993649188668e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38993649188668e-05×40589641000000     		ar = 43143.0157859262m²