Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50217 / 85044
↖ ↑ ↗
← S 47.137425°
W 42.074890°		 ← 207.76 m → S 47.137425°
W 42.072144°		 →
↑
207.76 m
↓
↑
207.76 m
↓
S 47.139293°
W 42.074890°		 ← 207.76 m →
43 164 m²		 S 47.139293°
W 42.072144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383129119873047 y=0.648838043212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383129119873047 × 217)
    floor (0.383129119873047 × 131072)
    floor (50217.5)     		tx = 50217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648838043212891 × 217)
    floor (0.648838043212891 × 131072)
    floor (85044.5)     		ty = 85044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50217 / 85044 ti = "17/50217/85044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50217/85044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50217 ÷ 217
    50217 ÷ 131072     		x = 0.383125305175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85044 ÷ 217
    85044 ÷ 131072     		y = 0.648834228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383125305175781 × 2 - 1) × π
    -0.233749389648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.73434537
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648834228515625 × 2 - 1) × π
    -0.29766845703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.935153037788055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73434537} λ = -0.73434537}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.935153037788055))-π/2
    2×atan(0.392525789656092)-π/2
    2×0.374046532912264-π/2
    0.748093065824527-1.57079632675     		φ = -0.82270326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73434537} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.074890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82270326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.137425°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50217 KachelY 85044 -0.73434537 -0.82270326 -42.074890 -47.137425
    Oben rechts KachelX + 1 50218 KachelY 85044 -0.73429743 -0.82270326 -42.072144 -47.137425
    Unten links KachelX 50217 KachelY + 1 85045 -0.73434537 -0.82273587 -42.074890 -47.139293
    Unten rechts KachelX + 1 50218 KachelY + 1 85045 -0.73429743 -0.82273587 -42.072144 -47.139293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82270326--0.82273587) × R
    3.26099999999885e-05 × 6371000     		dl = 207.758309999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82270326--0.82273587) × R
    3.26099999999885e-05 × 6371000     		dr = 207.758309999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73434537--0.73429743) × cos(-0.82270326) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.680242239715849 × 6371000     		do = 207.763489444334m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73434537--0.73429743) × cos(-0.82273587) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.68021833663579 × 6371000     		du = 207.756188828419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82270326)-sin(-0.82273587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680242239715849-0.68021833663579)×R²
    abs(-0.73429743--0.73434537)×2.39030800589513e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39030800589513e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39030800589513e-05×40589641000000     		ar = 43163.8330687392m²