Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50217 / 50921
↖ ↑ ↗
← S 70.097399°
E 95.850220°		 ← 207.95 m → S 70.097399°
E 95.855713°		 →
↑
207.89 m
↓
↑
207.89 m
↓
S 70.099269°
E 95.850220°		 ← 207.93 m →
43 227 m²		 S 70.099269°
E 95.855713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766258239746094 y=0.777000427246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766258239746094 × 216)
    floor (0.766258239746094 × 65536)
    floor (50217.5)     		tx = 50217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777000427246094 × 216)
    floor (0.777000427246094 × 65536)
    floor (50921.5)     		ty = 50921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50217 / 50921 ti = "16/50217/50921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50217/50921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50217 ÷ 216
    50217 ÷ 65536     		x = 0.766250610351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50921 ÷ 216
    50921 ÷ 65536     		y = 0.776992797851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766250610351562 × 2 - 1) × π
    0.532501220703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67290192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776992797851562 × 2 - 1) × π
    -0.553985595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74039707760576
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67290192} λ = 1.67290192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74039707760576))-π/2
    2×atan(0.175450719231932)-π/2
    2×0.173682959077101-π/2
    0.347365918154202-1.57079632675     		φ = -1.22343041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67290192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.850220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22343041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.097399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50217 KachelY 50921 1.67290192 -1.22343041 95.850220 -70.097399
    Oben rechts KachelX + 1 50218 KachelY 50921 1.67299780 -1.22343041 95.855713 -70.097399
    Unten links KachelX 50217 KachelY + 1 50922 1.67290192 -1.22346304 95.850220 -70.099269
    Unten rechts KachelX + 1 50218 KachelY + 1 50922 1.67299780 -1.22346304 95.855713 -70.099269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22343041--1.22346304) × R
    3.2629999999978e-05 × 6371000     		dl = 207.88572999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22343041--1.22346304) × R
    3.2629999999978e-05 × 6371000     		dr = 207.88572999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67290192-1.67299780) × cos(-1.22343041) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.34042223485117 × 6371000     		do = 207.94742598409m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67290192-1.67299780) × cos(-1.22346304) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.340391553572587 × 6371000     		du = 207.928684279659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22343041)-sin(-1.22346304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34042223485117-0.340391553572587)×R²
    abs(1.67299780-1.67290192)×3.06812785833555e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.06812785833555e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.06812785833555e-05×40589641000000     		ar = 43227.3543896058m²