Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50216 / 58002
↖ ↑ ↗
← N 20.257044°
W 42.077637°		 ← 286.48 m → N 20.257044°
W 42.074890°		 →
↑
286.50 m
↓
↑
286.50 m
↓
N 20.254467°
W 42.077637°		 ← 286.48 m →
82 077 m²		 N 20.254467°
W 42.074890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383121490478516 y=0.442523956298828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383121490478516 × 217)
    floor (0.383121490478516 × 131072)
    floor (50216.5)     		tx = 50216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442523956298828 × 217)
    floor (0.442523956298828 × 131072)
    floor (58002.5)     		ty = 58002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50216 / 58002 ti = "17/50216/58002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50216/58002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50216 ÷ 217
    50216 ÷ 131072     		x = 0.38311767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58002 ÷ 217
    58002 ÷ 131072     		y = 0.442520141601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38311767578125 × 2 - 1) × π
    -0.2337646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73439330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442520141601562 × 2 - 1) × π
    0.114959716796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.361156601737503
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73439330} λ = -0.73439330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.361156601737503))-π/2
    2×atan(1.4349881649235)-π/2
    2×0.962174218948383-π/2
    1.92434843789677-1.57079632675     		φ = 0.35355211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73439330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.077637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35355211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.257044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50216 KachelY 58002 -0.73439330 0.35355211 -42.077637 20.257044
    Oben rechts KachelX + 1 50217 KachelY 58002 -0.73434537 0.35355211 -42.074890 20.257044
    Unten links KachelX 50216 KachelY + 1 58003 -0.73439330 0.35350714 -42.077637 20.254467
    Unten rechts KachelX + 1 50217 KachelY + 1 58003 -0.73434537 0.35350714 -42.074890 20.254467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35355211-0.35350714) × R
    4.49699999999775e-05 × 6371000     		dl = 286.503869999857m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35355211-0.35350714) × R
    4.49699999999775e-05 × 6371000     		dr = 286.503869999857m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73439330--0.73434537) × cos(0.35355211) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.938148778423371 × 6371000     		do = 286.475015421556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73439330--0.73434537) × cos(0.35350714) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.938164347545442 × 6371000     		du = 286.479769640277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35355211)-sin(0.35350714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938148778423371-0.938164347545442)×R²
    abs(-0.73434537--0.73439330)×1.5569122071124e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5569122071124e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5569122071124e-05×40589641000000     		ar = 82076.8816413083m²