Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50216 / 50902
↖ ↑ ↗
← S 70.061838°
E 95.844727°		 ← 208.28 m → S 70.061838°
E 95.850220°		 →
↑
208.33 m
↓
↑
208.33 m
↓
S 70.063712°
E 95.844727°		 ← 208.26 m →
43 390 m²		 S 70.063712°
E 95.850220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766242980957031 y=0.776710510253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766242980957031 × 216)
    floor (0.766242980957031 × 65536)
    floor (50216.5)     		tx = 50216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776710510253906 × 216)
    floor (0.776710510253906 × 65536)
    floor (50902.5)     		ty = 50902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50216 / 50902 ti = "16/50216/50902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50216/50902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50216 ÷ 216
    50216 ÷ 65536     		x = 0.7662353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50902 ÷ 216
    50902 ÷ 65536     		y = 0.776702880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7662353515625 × 2 - 1) × π
    0.532470703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67280605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776702880859375 × 2 - 1) × π
    -0.55340576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7385754754202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67280605} λ = 1.67280605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7385754754202))-π/2
    2×atan(0.175770611915693)-π/2
    2×0.173993281686722-π/2
    0.347986563373444-1.57079632675     		φ = -1.22280976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67280605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.844727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22280976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.061838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50216 KachelY 50902 1.67280605 -1.22280976 95.844727 -70.061838
    Oben rechts KachelX + 1 50217 KachelY 50902 1.67290192 -1.22280976 95.850220 -70.061838
    Unten links KachelX 50216 KachelY + 1 50903 1.67280605 -1.22284246 95.844727 -70.063712
    Unten rechts KachelX + 1 50217 KachelY + 1 50903 1.67290192 -1.22284246 95.850220 -70.063712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22280976--1.22284246) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dl = 208.331699999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22280976--1.22284246) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dr = 208.331699999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67280605-1.67290192) × cos(-1.22280976) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341005749482589 × 6371000     		do = 208.282141283645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67280605-1.67290192) × cos(-1.22284246) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.340975009298706 × 6371000     		du = 208.263365555281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22280976)-sin(-1.22284246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341005749482589-0.340975009298706)×R²
    abs(1.67290192-1.67280605)×3.07401838833266e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.07401838833266e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.07401838833266e-05×40589641000000     		ar = 43389.81678759m²