Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50215 / 50920
↖ ↑ ↗
← S 70.095529°
E 95.839234°		 ← 207.94 m → S 70.095529°
E 95.844727°		 →
↑
207.95 m
↓
↑
207.95 m
↓
S 70.097399°
E 95.839234°		 ← 207.93 m →
43 240 m²		 S 70.097399°
E 95.844727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50920 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766227722167969 y=0.776985168457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766227722167969 × 216)
    floor (0.766227722167969 × 65536)
    floor (50215.5)     		tx = 50215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776985168457031 × 216)
    floor (0.776985168457031 × 65536)
    floor (50920.5)     		ty = 50920
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50215 / 50920 ti = "16/50215/50920"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50215/50920.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50215 ÷ 216
    50215 ÷ 65536     		x = 0.766220092773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50920 ÷ 216
    50920 ÷ 65536     		y = 0.7769775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766220092773438 × 2 - 1) × π
    0.532440185546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67271018
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7769775390625 × 2 - 1) × π
    -0.553955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74030120380652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67271018} λ = 1.67271018}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74030120380652))-π/2
    2×atan(0.175467541165343)-π/2
    2×0.173699278599231-π/2
    0.347398557198462-1.57079632675     		φ = -1.22339777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67271018} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.839234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22339777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.095529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50215 KachelY 50920 1.67271018 -1.22339777 95.839234 -70.095529
    Oben rechts KachelX + 1 50216 KachelY 50920 1.67280605 -1.22339777 95.844727 -70.095529
    Unten links KachelX 50215 KachelY + 1 50921 1.67271018 -1.22343041 95.839234 -70.097399
    Unten rechts KachelX + 1 50216 KachelY + 1 50921 1.67280605 -1.22343041 95.844727 -70.097399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22339777--1.22343041) × R
    3.26399999999172e-05 × 6371000     		dl = 207.949439999472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22339777--1.22343041) × R
    3.26399999999172e-05 × 6371000     		dr = 207.949439999472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67271018-1.67280605) × cos(-1.22339777) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.340452925169916 × 6371000     		do = 207.944482954505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67271018-1.67280605) × cos(-1.22343041) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.34042223485117 × 6371000     		du = 207.925737683158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22339777)-sin(-1.22343041))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340452925169916-0.34042223485117)×R²
    abs(1.67280605-1.67271018)×3.06903187455854e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.06903187455854e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.06903187455854e-05×40589641000000     		ar = 43239.9897508246m²