Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50214 / 50902
↖ ↑ ↗
← S 70.061838°
E 95.833740°		 ← 208.30 m → S 70.061838°
E 95.839234°		 →
↑
208.33 m
↓
↑
208.33 m
↓
S 70.063712°
E 95.833740°		 ← 208.29 m →
43 394 m²		 S 70.063712°
E 95.839234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50902 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766212463378906 y=0.776710510253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766212463378906 × 216)
    floor (0.766212463378906 × 65536)
    floor (50214.5)     		tx = 50214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776710510253906 × 216)
    floor (0.776710510253906 × 65536)
    floor (50902.5)     		ty = 50902
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50214 / 50902 ti = "16/50214/50902"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50214/50902.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50214 ÷ 216
    50214 ÷ 65536     		x = 0.766204833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50902 ÷ 216
    50902 ÷ 65536     		y = 0.776702880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766204833984375 × 2 - 1) × π
    0.53240966796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67261430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776702880859375 × 2 - 1) × π
    -0.55340576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7385754754202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67261430} λ = 1.67261430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7385754754202))-π/2
    2×atan(0.175770611915693)-π/2
    2×0.173993281686722-π/2
    0.347986563373444-1.57079632675     		φ = -1.22280976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67261430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.833740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22280976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.061838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50214 KachelY 50902 1.67261430 -1.22280976 95.833740 -70.061838
    Oben rechts KachelX + 1 50215 KachelY 50902 1.67271018 -1.22280976 95.839234 -70.061838
    Unten links KachelX 50214 KachelY + 1 50903 1.67261430 -1.22284246 95.833740 -70.063712
    Unten rechts KachelX + 1 50215 KachelY + 1 50903 1.67271018 -1.22284246 95.839234 -70.063712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22280976--1.22284246) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dl = 208.331699999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22280976--1.22284246) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dr = 208.331699999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67261430-1.67271018) × cos(-1.22280976) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.341005749482589 × 6371000     		do = 208.303866759812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67261430-1.67271018) × cos(-1.22284246) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.340975009298706 × 6371000     		du = 208.285089072992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22280976)-sin(-1.22284246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341005749482589-0.340975009298706)×R²
    abs(1.67271018-1.67261430)×3.07401838833266e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.07401838833266e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.07401838833266e-05×40589641000000     		ar = 43394.3426889694m²