Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50214 / 49708
↖ ↑ ↗
← S 67.701110°
E 95.833740°		 ← 231.78 m → S 67.701110°
E 95.839234°		 →
↑
231.78 m
↓
↑
231.78 m
↓
S 67.703194°
E 95.833740°		 ← 231.76 m →
53 719 m²		 S 67.703194°
E 95.839234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50214 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766212463378906 y=0.758491516113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766212463378906 × 216)
    floor (0.766212463378906 × 65536)
    floor (50214.5)     		tx = 50214
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758491516113281 × 216)
    floor (0.758491516113281 × 65536)
    floor (49708.5)     		ty = 49708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50214 / 49708 ti = "16/50214/49708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50214/49708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50214 ÷ 216
    50214 ÷ 65536     		x = 0.766204833984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49708 ÷ 216
    49708 ÷ 65536     		y = 0.75848388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766204833984375 × 2 - 1) × π
    0.53240966796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.67261430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75848388671875 × 2 - 1) × π
    -0.5169677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.6241021591275
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67261430} λ = 1.67261430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6241021591275))-π/2
    2×atan(0.197088549945268)-π/2
    2×0.194594527682978-π/2
    0.389189055365956-1.57079632675     		φ = -1.18160727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67261430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.833740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18160727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.701110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50214 KachelY 49708 1.67261430 -1.18160727 95.833740 -67.701110
    Oben rechts KachelX + 1 50215 KachelY 49708 1.67271018 -1.18160727 95.839234 -67.701110
    Unten links KachelX 50214 KachelY + 1 49709 1.67261430 -1.18164365 95.833740 -67.703194
    Unten rechts KachelX + 1 50215 KachelY + 1 49709 1.67271018 -1.18164365 95.839234 -67.703194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18160727--1.18164365) × R
    3.6380000000058e-05 × 6371000     		dl = 231.77698000037m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18160727--1.18164365) × R
    3.6380000000058e-05 × 6371000     		dr = 231.77698000037m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67261430-1.67271018) × cos(-1.18160727) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.379438241476506 × 6371000     		do = 231.780411374369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67261430-1.67271018) × cos(-1.18164365) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.379404581828525 × 6371000     		du = 231.759850328584m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18160727)-sin(-1.18164365))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379438241476506-0.379404581828525)×R²
    abs(1.67271018-1.67261430)×3.36596479809659e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.36596479809659e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.36596479809659e-05×40589641000000     		ar = 53718.9809889755m²