Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50213 / 85045
↖ ↑ ↗
← S 47.139293°
W 42.085876°		 ← 207.71 m → S 47.139293°
W 42.083130°		 →
↑
207.76 m
↓
↑
207.76 m
↓
S 47.141161°
W 42.085876°		 ← 207.71 m →
43 153 m²		 S 47.141161°
W 42.083130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383098602294922 y=0.648845672607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383098602294922 × 217)
    floor (0.383098602294922 × 131072)
    floor (50213.5)     		tx = 50213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648845672607422 × 217)
    floor (0.648845672607422 × 131072)
    floor (85045.5)     		ty = 85045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50213 / 85045 ti = "17/50213/85045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50213/85045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50213 ÷ 217
    50213 ÷ 131072     		x = 0.383094787597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85045 ÷ 217
    85045 ÷ 131072     		y = 0.648841857910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383094787597656 × 2 - 1) × π
    -0.233810424804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.73453711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648841857910156 × 2 - 1) × π
    -0.297683715820312 × 3.1415926535     		Φ = -0.935200974687675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73453711} λ = -0.73453711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.935200974687675))-π/2
    2×atan(0.39250697363771)-π/2
    2×0.374030228846743-π/2
    0.748060457693486-1.57079632675     		φ = -0.82273587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73453711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.085876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82273587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.139293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50213 KachelY 85045 -0.73453711 -0.82273587 -42.085876 -47.139293
    Oben rechts KachelX + 1 50214 KachelY 85045 -0.73448918 -0.82273587 -42.083130 -47.139293
    Unten links KachelX 50213 KachelY + 1 85046 -0.73453711 -0.82276848 -42.085876 -47.141161
    Unten rechts KachelX + 1 50214 KachelY + 1 85046 -0.73448918 -0.82276848 -42.083130 -47.141161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82273587--0.82276848) × R
    3.26099999999885e-05 × 6371000     		dl = 207.758309999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82273587--0.82276848) × R
    3.26099999999885e-05 × 6371000     		dr = 207.758309999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73453711--0.73448918) × cos(-0.82273587) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.68021833663579 × 6371000     		do = 207.712852118455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73453711--0.73448918) × cos(-0.82276848) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.680194432832378 × 6371000     		du = 207.705552804521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82273587)-sin(-0.82276848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68021833663579-0.680194432832378)×R²
    abs(-0.73448918--0.73453711)×2.39038034114403e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39038034114403e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39038034114403e-05×40589641000000     		ar = 43153.3128787116m²