Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50213 / 50901
↖ ↑ ↗
← S 70.059965°
E 95.828247°		 ← 208.30 m → S 70.059965°
E 95.833740°		 →
↑
208.27 m
↓
↑
208.27 m
↓
S 70.061838°
E 95.828247°		 ← 208.28 m →
43 380 m²		 S 70.061838°
E 95.833740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766197204589844 y=0.776695251464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766197204589844 × 216)
    floor (0.766197204589844 × 65536)
    floor (50213.5)     		tx = 50213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776695251464844 × 216)
    floor (0.776695251464844 × 65536)
    floor (50901.5)     		ty = 50901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50213 / 50901 ti = "16/50213/50901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50213/50901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50213 ÷ 216
    50213 ÷ 65536     		x = 0.766189575195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50901 ÷ 216
    50901 ÷ 65536     		y = 0.776687622070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.766189575195312 × 2 - 1) × π
    0.532379150390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.67251843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776687622070312 × 2 - 1) × π
    -0.553375244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73847960162096
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67251843} λ = 1.67251843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73847960162096))-π/2
    2×atan(0.175787464519901)-π/2
    2×0.174009629181614-π/2
    0.348019258363228-1.57079632675     		φ = -1.22277707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67251843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.828247°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22277707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.059965°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50213 KachelY 50901 1.67251843 -1.22277707 95.828247 -70.059965
    Oben rechts KachelX + 1 50214 KachelY 50901 1.67261430 -1.22277707 95.833740 -70.059965
    Unten links KachelX 50213 KachelY + 1 50902 1.67251843 -1.22280976 95.828247 -70.061838
    Unten rechts KachelX + 1 50214 KachelY + 1 50902 1.67261430 -1.22280976 95.833740 -70.061838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22277707--1.22280976) × R
    3.26900000000574e-05 × 6371000     		dl = 208.267990000366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22277707--1.22280976) × R
    3.26900000000574e-05 × 6371000     		dr = 208.267990000366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67251843-1.67261430) × cos(-1.22277707) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341036479901338 × 6371000     		do = 208.300911047583m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67251843-1.67261430) × cos(-1.22280976) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341005749482589 × 6371000     		du = 208.282141283645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22277707)-sin(-1.22280976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341036479901338-0.341005749482589)×R²
    abs(1.67261430-1.67251843)×3.07304187486812e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.07304187486812e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.07304187486812e-05×40589641000000     		ar = 43380.4574923844m²