Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50212 / 58276
↖ ↑ ↗
← N 19.549437°
W 42.088623°		 ← 287.82 m → N 19.549437°
W 42.085876°		 →
↑
287.78 m
↓
↑
287.78 m
↓
N 19.546849°
W 42.088623°		 ← 287.82 m →
82 829 m²		 N 19.546849°
W 42.085876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58276 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383090972900391 y=0.444614410400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383090972900391 × 217)
    floor (0.383090972900391 × 131072)
    floor (50212.5)     		tx = 50212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444614410400391 × 217)
    floor (0.444614410400391 × 131072)
    floor (58276.5)     		ty = 58276
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50212 / 58276 ti = "17/50212/58276"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50212/58276.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50212 ÷ 217
    50212 ÷ 131072     		x = 0.383087158203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58276 ÷ 217
    58276 ÷ 131072     		y = 0.444610595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383087158203125 × 2 - 1) × π
    -0.23382568359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.73458505
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444610595703125 × 2 - 1) × π
    0.11077880859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.348021891241608
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73458505} λ = -0.73458505}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.348021891241608))-π/2
    2×atan(1.41626325316173)-π/2
    2×0.955999188758664-π/2
    1.91199837751733-1.57079632675     		φ = 0.34120205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73458505} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.088623°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34120205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.549437°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50212 KachelY 58276 -0.73458505 0.34120205 -42.088623 19.549437
    Oben rechts KachelX + 1 50213 KachelY 58276 -0.73453711 0.34120205 -42.085876 19.549437
    Unten links KachelX 50212 KachelY + 1 58277 -0.73458505 0.34115688 -42.088623 19.546849
    Unten rechts KachelX + 1 50213 KachelY + 1 58277 -0.73453711 0.34115688 -42.085876 19.546849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34120205-0.34115688) × R
    4.51699999999833e-05 × 6371000     		dl = 287.778069999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34120205-0.34115688) × R
    4.51699999999833e-05 × 6371000     		dr = 287.778069999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73458505--0.73453711) × cos(0.34120205) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942353116361341 × 6371000     		do = 287.81889790578m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73458505--0.73453711) × cos(0.34115688) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942368230189409 × 6371000     		du = 287.823514057902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34120205)-sin(0.34115688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942353116361341-0.942368230189409)×R²
    abs(-0.73453711--0.73458505)×1.51138280680696e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51138280680696e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51138280680696e-05×40589641000000     		ar = 82828.6311766279m²