Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50212 / 50783
↖ ↑ ↗
← S 69.837729°
E 95.822754°		 ← 210.55 m → S 69.837729°
E 95.828247°		 →
↑
210.50 m
↓
↑
210.50 m
↓
S 69.839622°
E 95.822754°		 ← 210.53 m →
44 318 m²		 S 69.839622°
E 95.828247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.766181945800781 y=0.774894714355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.766181945800781 × 216)
    floor (0.766181945800781 × 65536)
    floor (50212.5)     		tx = 50212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774894714355469 × 216)
    floor (0.774894714355469 × 65536)
    floor (50783.5)     		ty = 50783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50212 / 50783 ti = "16/50212/50783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50212/50783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50212 ÷ 216
    50212 ÷ 65536     		x = 0.76617431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50783 ÷ 216
    50783 ÷ 65536     		y = 0.774887084960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76617431640625 × 2 - 1) × π
    0.5323486328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.67242255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774887084960938 × 2 - 1) × π
    -0.549774169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72716649331062
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.67242255} λ = 1.67242255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72716649331062))-π/2
    2×atan(0.17778745889112)-π/2
    2×0.175949009953155-π/2
    0.35189801990631-1.57079632675     		φ = -1.21889831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.67242255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.822754°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21889831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.837729°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50212 KachelY 50783 1.67242255 -1.21889831 95.822754 -69.837729
    Oben rechts KachelX + 1 50213 KachelY 50783 1.67251843 -1.21889831 95.828247 -69.837729
    Unten links KachelX 50212 KachelY + 1 50784 1.67242255 -1.21893135 95.822754 -69.839622
    Unten rechts KachelX + 1 50213 KachelY + 1 50784 1.67251843 -1.21893135 95.828247 -69.839622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21889831--1.21893135) × R
    3.30400000001507e-05 × 6371000     		dl = 210.49784000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21889831--1.21893135) × R
    3.30400000001507e-05 × 6371000     		dr = 210.49784000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.67242255-1.67251843) × cos(-1.21889831) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.344680133931641 × 6371000     		do = 210.548369938603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.67242255-1.67251843) × cos(-1.21893135) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.344649118428257 × 6371000     		du = 210.529424072458m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21889831)-sin(-1.21893135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344680133931641-0.344649118428257)×R²
    abs(1.67251843-1.67242255)×3.10155033844683e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.10155033844683e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.10155033844683e-05×40589641000000     		ar = 44317.9830601134m²