Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50211 / 58277
↖ ↑ ↗
← N 19.546849°
W 42.091370°		 ← 287.82 m → N 19.546849°
W 42.088623°		 →
↑
287.84 m
↓
↑
287.84 m
↓
N 19.544261°
W 42.091370°		 ← 287.83 m →
82 848 m²		 N 19.544261°
W 42.088623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.383083343505859 y=0.444622039794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.383083343505859 × 217)
    floor (0.383083343505859 × 131072)
    floor (50211.5)     		tx = 50211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444622039794922 × 217)
    floor (0.444622039794922 × 131072)
    floor (58277.5)     		ty = 58277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50211 / 58277 ti = "17/50211/58277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50211/58277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50211 ÷ 217
    50211 ÷ 131072     		x = 0.383079528808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58277 ÷ 217
    58277 ÷ 131072     		y = 0.444618225097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.383079528808594 × 2 - 1) × π
    -0.233840942382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.73463299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444618225097656 × 2 - 1) × π
    0.110763549804688 × 3.1415926535     		Φ = 0.347973954341988
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73463299} λ = -0.73463299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.347973954341988))-π/2
    2×atan(1.41619536351955)-π/2
    2×0.955976601834151-π/2
    1.9119532036683-1.57079632675     		φ = 0.34115688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73463299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.091370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34115688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.546849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50211 KachelY 58277 -0.73463299 0.34115688 -42.091370 19.546849
    Oben rechts KachelX + 1 50212 KachelY 58277 -0.73458505 0.34115688 -42.088623 19.546849
    Unten links KachelX 50211 KachelY + 1 58278 -0.73463299 0.34111170 -42.091370 19.544261
    Unten rechts KachelX + 1 50212 KachelY + 1 58278 -0.73458505 0.34111170 -42.088623 19.544261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34115688-0.34111170) × R
    4.5179999999978e-05 × 6371000     		dl = 287.84177999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34115688-0.34111170) × R
    4.5179999999978e-05 × 6371000     		dr = 287.84177999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73463299--0.73458505) × cos(0.34115688) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.942368230189409 × 6371000     		do = 287.823514058568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73463299--0.73458505) × cos(0.34111170) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.942383345440086 × 6371000     		du = 287.828130645192m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34115688)-sin(0.34111170))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942368230189409-0.942383345440086)×R²
    abs(-0.73458505--0.73463299)×1.5115250676434e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.5115250676434e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.5115250676434e-05×40589641000000     		ar = 82848.2970497805m²